Question

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если b3 +b6 =140, b4 − b5 + b6 =105.

Answer 1

$\{b_n\}$ - геометрическая прогрессия.
$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ - n-ый член геометрической прогрессии
Воспользуемся этой же формулой
$\displaystyle \left \{ {{b_3+b_6=140} \atop {b_4-b_5+b_6=105}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1q^2+b_1q^5=140} \atop {b_1q^3-b_1q^4+b_1q^5=105}} \right. \Rightarrow\\ \\ \\ \left \{ {{b_1q^2(1+q^3)=140} \atop {b_1q^2\cdot q(1-q+q^2)=105}} \right.\Rightarrow \left \{ {{b_1q^2(1+q)(1-q+q^2)=140} \atop {b_1q^2(1-q+q^2)\cdot q=105}} \right. \Rightarrow \\ \\ \\ \left \{ {{b_1q^2(1-q+q^2)= \frac{140}{1+q} } \atop {b_1q^2(1-q+q^2)\cdot q=105}} \right. \\ \\ \\ \frac{140}{1+q}\cdot q=105|\cdot(1+q)$

$140q=105(1+q)\\ 140q=105+105q\\ 35q=105\\ q=3$

Тогда первый член геометрической прогрессии
$b_1= \dfrac{140}{q^2(1+q^3)} = \dfrac{140}{3^2(1+3^3)} = \dfrac{5}{9}$


Ответ: $b_1=\dfrac{5}{9};\,\,\,\,\,\, q=3.$