Question

$F(x)=\left \{ {{0}, x<0 \atop Ae^{-x}, x\geq0 }} \right.$
a = -1, b=2.

Необходимо найти:

1. Значение постоянной А, при котором f(x) будет плотностью распределения некоторой случайной величины Х

2. Интегральную функцию распределения F(x) этой случайной величины Х.

3. Мат. ожидание, дисперсию, среднее квадрат. отклонение.

4. Вероятность попадания СВ Ч в интервал (а,b).

Построить графики функций F(x) и f(x)

Answer 1

1)

Воспользовавшись одним из свойств плотности распределения

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(x)dx=1\\ \\ \\ \int\limits^{+\infty}_{-\infty}Ae^{-x}dx=\int\limits^{+\infty}_{0}Ae^{-x}dx=-Ae^{-x}\bigg|^{+\infty}_{0}=-A(0-1)=1~~\Rightarrow~~~\boxed{A=1}$

Заметим, что это показательное распределение с параметром $\lambda =1$

2)

$F(x)=\displaystyle \int\limits^{x}_{0}f(t)dt=\int\limits^{x}_{0}e^{-t}dt=-e^{-t}\bigg|^x_0=1-e^{-x},~~~ x\geq 0$

3) Математическое ожидание случ. величины X: $MX=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{1}=1$

Дисперсия случ. величины X: $DX=\dfrac{1}{\lambda^2}=1$

Среднее квадратическое отклонение: $\sigma =\dfrac{1}{\lambda}=1$

4) Вероятность того, что СВ Х попадет в интервал (-1;2), равна

$P(-1<X<2)=F(2)-F(-1)=1-e^{-2}-0=1-e^{-2}\approx0{,}86$

Answer 2

Решение на фотографиях. Приятно удивлен увидеть здесь университетскую жизнь (теорвер). Если что, как берется неопределенный интеграл от xe^-x или x^2 * e^-x опущено, т.к. это легко делается с помощью интегрирования по частям (в первом случае применяем единожды, во втором два раза). Графики можно начертить здесь www.desmos.com/calculator