Question

Как решать ? sin2x+5sin^2x=1,5

Answer 1

$sin 2x+ 5sin^{2} x=1,5$
Уравнение является тригонометрическим. Причем не простейшим. Уравнение второй степени.
$5sin^{2} x + sin 2x - 1,5 = 0$
Прежде чем продолжить решение раскроем двойной угол и получим
$5sin^{2} x + 2sin xcos x - 1,5 = 0$
Используя основное тригонометрическое тождество, представим 1,5 как 1,5 *1 получим:
$5sin^{2} x + 2sin xcos x - 1,5( sin^{2}x+ cos^{2}x) = 0$
$5sin^{2} x + 2sin xcos x - 1,5sin^{2}x- 1,5cos^{2}x = 0 \\ 3,5sin^{2} x+ 2sin xcos x - 1,5cos^{2}x = 0$
Разделим все уравнение на $cos^{2} x \neq 0$
$3,5tg^{2} x+ 2tg x - 1,5= 0$
Мы свели уравнение к квадратному. Введём новую переменную
$y = tg x$
$3,5y^{2}+ 2y - 1,5= 0$
Получили обычное квадратное уравнение
$D = 4 - 4 * (3,5) * (1,5) = 4+21=25$
$y = \frac{-2+5}{7}; y = \frac{-2-5}{7} \\ y = \frac{3}{7}; y = -1$
Возвращаемся в замену
$tg x = \frac{3}{7}; tg x = -1 \\ x = arctg \frac{3}{7} + \pi k; x = arctg (-1) + \pi k$, где k - целое.
$x = - \frac{ \pi }{4} + \pi k, \\ x= arctg \frac{3}{7} + \pi k,$, где k - целое

Ответ: $x = - \frac{ \pi }{4} + \pi k, \\ x= arctg \frac{3}{7} + \pi k,$ где k - целое
где k - целое