![(x+1)^8+(x^2+1)^4=2x^4~~~|:x^4\ne 0\\ \\ \left(\dfrac{(x+1)^2}{x}\right)^4+\left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)^4=2\\ \\ \\ \left(\dfrac{(x+1)^2}{x}\right)^4+\left(\dfrac{(x+1)^2}{x}-2\right)^4=2](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2B1%29%5E8%2B%28x%5E2%2B1%29%5E4%3D2x%5E4~~~%7C%3Ax%5E4%5Cne%200%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%28x%2B1%29%5E2%7D%7Bx%7D%5Cright%29%5E4%2B%5Cleft%28%5Cdfrac%7Bx%5E2%2B1%7D%7Bx%7D%5Cright%29%5E4%3D2%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%28x%2B1%29%5E2%7D%7Bx%7D%5Cright%29%5E4%2B%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%28x%2B1%29%5E2%7D%7Bx%7D-2%5Cright%29%5E4%3D2)
Пусть
, тогда мы получаем
![t^4+(t-2)^4=2](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E4%2B%28t-2%29%5E4%3D2)
Рассмотрим функцию
. Её производная функции:
. Приравнивая производную функции к нулю, мы получим
которое равносильно уравнению
откуда ![t=1](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D1)
_____-____(1)____+_____
Функция убывает на промежутке t ∈ (-∞; 1), а возрастает - t ∈ (1; +∞). Следовательно, t = 1 — относительный минимум. Тогда f(1) = 2 и при этом
. То есть, t = 1 — решение уравнения
и единственно.
Выполним обратную замену:
![\dfrac{(x+1)^2}{x}=1~~~\Rightarrow~~~ (x+1)^2=x~~~\Rightarrow~~~ x^2+2x+1=x\\ \\ x^2+x+1=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%28x%2B1%29%5E2%7D%7Bx%7D%3D1~~~%5CRightarrow~~~%20%28x%2B1%29%5E2%3Dx~~~%5CRightarrow~~~%20x%5E2%2B2x%2B1%3Dx%5C%5C%20%5C%5C%20x%5E2%2Bx%2B1%3D0)
![D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3](https://tex.z-dn.net/?f=D%3Db%5E2-4ac%3D1%5E2-4%5Ccdot%201%5Ccdot%201%3D-3)
Дискриминант отрицателен, следовательно, квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Ответ: нет решений.