Question

Числа a, b, c попарно различные действительные числа, удовлетворяющие равенствам 2a+3/b=2b+3/c=2c+3/a. Найдите значение произведения abc​

Answer 1

$\frac{2a+3}{b}=\frac{2b+3}{c}\Rightarrow(2a+3)\cdot c=(2b+3)\cdot b\\\\\frac{2a+3}{b}=\frac{2c+3}{a}\Rightarrow(2a+3)\cdot a=(2c+3)\cdot b\\\\\frac{2b+3}{c}=\frac{2c+3}{a}\Rightarrow(2b+3)\cdot a=(2c+3)\cdot c$

$2ac+3c=2b^2+3b\\\\2bc+3b=2a^2+3a\\\\2ab+3a=2c^2+3c$

Складываем:

2ac+3c+2bc+3b+2ab+3a=2b²+3b+2a²+3a+2c²+3c

(2ab+2bc+2ac)+(3a+3b+3c)=(2a²+2b²+2c²)+(3a+3b+3c)

(2ab+2bc+2ac)=(2a²+2b²+2c²)

ab+bc+ac=a²+b²+c²

$2ac+3c=2b^2+3b\\\\2bc+3b=2a^2+3a\\\\2ab+3a=2c^2+3c$

Умножаем первое равенство на b, второе на а, третье на с

$2abc+3bc=2b^3+3b^2\\\\2abc+3ab=2a^3+3a^2\\\\2abc+3ac=2c^3+3c^2$

Складываем:

6abc+3(ab+bc+ac)=2(a³+b³+c³)+3(a^2+b^2+c^2)

6abc=2(a³+b³+c³)

abc=(a³+b³+c³)/3

О т в е т. abc=(a³+b³+c³)/3