![\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D)
Возведем в куб:
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
______________________________________________________________
![(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3=](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%29%5E3%3D)
![=4+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=](https://tex.z-dn.net/?f=%3D4%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7B%282%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%282-%5Csqrt%7B5%7D%29%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%29%3D)
![=4+3\sqrt[3]{-1}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=4-3(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})](https://tex.z-dn.net/?f=%3D4%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7B-1%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%29%3D4-3%28%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%29)
Для простоты вычислений проведем замену:
![\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%3Da+)
![\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%3Db)
(a+b)³=4-3(a+b)
Сделаем еще одну замену: a+b=x
Получим следующее уравнение:
x³+3x-4 = 0
<span>Любой целый корень</span><em> уравнения</em><span> с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена</span><em>. Один из корней легко угадывается x=1</em>
<em>Далее можно просто произвести деление столбиком и найти оставшийся многочлен:</em>
<em><span>x³+3x-4 = (x-1)(x²+x+4)</span></em>
<em><span><em>x²+x+4 = 0</em></span></em>
<em>корней на действительном поле не имеет. </em>
<em>В итоге значение выражения равно 1. </em>
(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
x^2-y^2=(x-y)(x+y)
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
(x-y)^3=x^3-x^2y+3xy^2-y^3
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
P ( x ) = x + 5
p ( 5x ) = 5x + 5
По теореме Виета
х₁+х₂=-6
х₁·х₂=8
Корни нового уравнени
5х₁ и 5х₂
Тогда
5х₁+5х₂=5(х₁+х₂)=5·(-6)=-30
5х₁·5х₂=25х₁х₂=25·8=200
Уравнение будет иметь вид
х²+30х+200=0