Отыщем область значений указанной функции.
Для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, приведя выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции.
![6 + 2 sin^{2} x - 6sin4x + cos2x + cos 8x = 6 + 1 - cos2x - 6sin4x + cos2x \\ + cos 8x = 7 - 6sin4x + cos8x = 7 - 6sin4x + 1 - 2 sin^{2} 4x = -2 sin^{2} 4x \\ - 6sin 4x + 8](https://tex.z-dn.net/?f=6%20%2B%202%20sin%5E%7B2%7D%20x%20-%206sin4x%20%2B%20cos2x%20%2B%20cos%208x%20%3D%206%20%2B%201%20-%20cos2x%20-%206sin4x%20%2B%20cos2x%20%20%5C%5C%20%2B%20cos%208x%20%3D%207%20-%206sin4x%20%2B%20cos8x%20%3D%207%20-%206sin4x%20%2B%201%20-%202%20sin%5E%7B2%7D%204x%20%3D%20-2%20sin%5E%7B2%7D%204x%20%5C%5C%20%20-%206sin%204x%20%2B%208)
Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x. На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с помощью формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла.
Теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена. Если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен
![-2 t^{2} - 6t + 8](https://tex.z-dn.net/?f=-2%20t%5E%7B2%7D%20%20-%206t%20%2B%208)
, ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. Найдём её абсциссу оси симметрии:
![x_{0} = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{-4} = -1,5](https://tex.z-dn.net/?f=%20x_%7B0%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B6%7D%7B-4%7D%20%3D%20-1%2C5)
. Следовательно, квадратичная функция правее оси симметрии монотонно убывает, то есть, при
![t \ \textgreater \ -1,5](https://tex.z-dn.net/?f=t%20%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20-1%2C5)
. Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. В частности, это происходит и на отрезке
![[-1,1]](https://tex.z-dn.net/?f=%5B-1%2C1%5D)
. Почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t - это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения именно из указанного отрезка.
Итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее - в левом(в точке -1). То есть,
![y_{min} = -2 * 1 - 6 * 1 + 8 = 0 \\ y_{max} = -2 * (-1)^{2} - 6 * (-1) + 8 = 12](https://tex.z-dn.net/?f=%20y_%7Bmin%7D%20%3D%20-2%20%2A%201%20-%206%20%2A%201%20%2B%208%20%3D%200%20%5C%5C%20%20y_%7Bmax%7D%20%3D%20-2%20%2A%20%20%28-1%29%5E%7B2%7D%20-%206%20%2A%20%28-1%29%20%2B%208%20%3D%2012)
, где
![y = -2 sin^{2} 4x - 6sin4x + 8](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20-2%20sin%5E%7B2%7D%204x%20-%206sin4x%20%2B%208)
.
То есть,
![E(y) = [0, 12]](https://tex.z-dn.net/?f=E%28y%29%20%3D%20%5B0%2C%2012%5D)
.
А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт
![[0, \sqrt{12} ]](https://tex.z-dn.net/?f=%5B0%2C%20%20%20%5Csqrt%7B12%7D%20%5D)
.
Теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений.
0, 1, 2, 3 - и всё. Их ровно 4.