Рассмотрим случай четных k
доказательство методом математической индукции
(База индукции)
![k=2](https://tex.z-dn.net/?f=k%3D2)
:
![5^2=25](https://tex.z-dn.net/?f=5%5E2%3D25)
25 при делении на 3 дает остаток 1 (25=8*3+1)
Выполняется
Гипотеза индукции
пусть при k=n утверждение верно, т.е. справедливо утверждение
![5^n](https://tex.z-dn.net/?f=5%5En)
при четном n при делении на 3 дает остаток 1
Индукционный переход. n+2 - следующее последовательное четное число после числа n
Докажем что тогда
![5^{n+2}](https://tex.z-dn.net/?f=5%5E%7Bn%2B2%7D)
дает остаток 1
Так как
![5^{n+2}=5^n*5^2=5^n*25](https://tex.z-dn.net/?f=5%5E%7Bn%2B2%7D%3D5%5En%2A5%5E2%3D5%5En%2A25)
![5^n](https://tex.z-dn.net/?f=5%5En)
при делении на 3 дает остаток 1 (согласно нашей гипотезе)
25 при делении на 3 дает остаток 1 (убедились выше)
Поэтому по правилу деления произведения на число остаток будет равен остатку от деления произведения остатков множителей
так как 1*1=1, а 1 при делении на 3 дает остаток 1
то и число
![5^{n+2}](https://tex.z-dn.net/?f=5%5E%7Bn%2B2%7D)
даст остаток 1
По принципу математической индукции доказано
Аналогично для нечетных доказывается для нечетных
[кратко 5 при делении на 3 дает остаток 2)
(5^{n}*5^2)
5^n - остаток 2
25 - остаток 1
2*1=2 , 2 при делении на 3 остаток 2]
При умножении степени складываются 7 в 3*7 в 12=7 в 15
при делении степени вычитаются 7 в 15: 7 в 14=7 в 1=7
10 в 15*10 в 7=10 в 22
11 в 22:10 в 19=10 в 3=1000