Question

Найдите промежутки убывания функции:

Answer 1

Промежутки убывания функции находятся там, где её производная отрицательна, тоесть, необходимо решить неравенство
$f(x)=\frac{5}{\sqrt{x^2-3x-10}};\\ f'(x):\\ \left|\left|\left(\frac1f\right)'=\frac{-f'}{f^2};\ \ \left(\frac1{f(g)}\right)'=\frac{-f'(g)}{f^2(g)}\cdot g'=\frac{-f'(g)\cdot g'}{f^2(g)}\right|\right|\\ f=\frac{1}{g};\ g=\sqrt{x^2-3x-10}\\ D(f): x^2-3x-10>0\\ D=9+40=49;\\ x_1=\frac{3-9}{2}=-3\\ x_2=\frac{3+9}{2}=6\\ x>6\cup x<-3:\ \ x\in(-\infty;-3)\cup(6;+\infty)$ f'(x)<0:

$f'(x)=5\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-3x-10}}\right)'=5\cdot\frac{-\left(\sqrt{x^2-3x-10}\right)'}{(\sqrt{x^2-3x-10})}=\\ =5\cdot\frac{-\left(\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2-3x-10}}\right)\cdot(x^2-3x-10)'}{x^2-3x-10}=\\ =5\cdot\frac{\frac12\cdot(2x-3)}{\sqrt{\left(x^2-3x-10\right)^3}}<0;\\ 2x-3<0;\\ x<\frac32;\\ x<1\frac12;$
при х< 1,5 наша функция убывает