Слова щеголь и щегол являются существительными мужского рода:
красивый щеголь, импозантный щеголь;
веселый щегол, певчий щегол.
Значит, изменяем их по второму типу склонения:
и.п. кто? щегол_, щеголь_
р.п. пение кого? щегл-а, силуэт кого? щегол-я;
д.п. подойду к кому? к щегл-у, к щегол-ю;
в.п. вижу кого? щегл-а, щегол-я;
т.п. восхищаюсь кем? щегл-ом, щегол-ем;
п.п. расскажу о ком? о щегл-е, о щегол-е.
Как видим, при склонении существительного "щегол" из его корня исчезает гласная о, которая называется "беглой". А происходит это из-за ударного окончания, то есть это чисто фонетический процесс.
Если бы этого не произошло, то формы двух похожих слов, но разных по значению, просто бы совпали. Вот так язык дифференцирует слова.