Question

На доске написано более 45, но менее 63 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 18, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно (-9) .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Answer 1

Пусть среди этих чисел p положительных, n отрицательных и z нулей.

а) сумма всех чисел равна 5 * (p + n + z), сумма положительных 18p, сумма отрицательных -9n, сумма нулей 0.
5(p + n + z) = 18p - 9n = 9(2p - n)

Правая часть равенства делится на 9, тогда и левая должна делиться на 9, т.е. количество всех чисел, равное (p + n + z), делится на 9. Если количество чисел больше 45 = 5 * 9 и меньше 63 = 7 * 9 и делится на 9, то оно равно 6 * 9 = 54.

б) 9(2p - n) = 5 * 54
2p - n = 30
n = 2p - 30

Так как всего чисел (с учетом нулей) 54, то n + p = 3p - 30 <= 54, откуда p <= 28. Значит, n - p = p - 30 < 0.

в) Уже показано выше, что p <= 28. Покажем, что значение 28 достигается.

Пусть на доске записано 28 чисел, равных 18, и 26 чисел, равных -9. Тогда среднее арифметическое положительных чисел равно 18, отрицательных -9, а всех чисел (28 * 18 - 9 * 26)/54 = 5.

Ответ. а) 54, б) положительных больше, в) 28.