Question

Найти наибольшее и наименьшее значение выражения 3x+4y, если
$9 x^{2} + 16y {}^{2} = 98$
Ответ: min (3x+4y) = -14, max (2x+3y) = 14

Нужен хотя бы кусочек решения этого задания!

Answer 1

Замена y^2 = (98 - 9x^2)/16
$y1=- \sqrt{ \frac{98-9x^2}{16} } =- \frac{ \sqrt{98-9x^2} }{4} ;y2=\frac{ \sqrt{98-9x^2} }{4}$
Нам нужно найти min и max значения функции
$f1(x)=3x+4y1=3x-\sqrt{98-9x^2} }$
$f1'(x)=3- \frac{-18x}{2\sqrt{98-9x^2}} = 3+\frac{9x}{\sqrt{98-9x^2}} = \frac{3\sqrt{98-9x^2}+9x}{\sqrt{98-9x^2}} =0$
3√(98 - 9x^2) + 9x = 0
√(98 - 9x^2) = -3x
98 - 9x^2 = 9x^2
18x^2 = 98
9x^2 = 49
x1 = -√(49/9) = -7/3; x2 = √(49/9) = 7/3
y1 = -√(98 - 9x^2)/4 = -√(98 - 49)/4 = -√49/4 = -7/4
f1(x) = 3x1 + 4y1 = 3*(-7/3) + 4*(-7/4) = -7 - 7 = -14 - это минимум.
f1(x) = 3x2 + 4y1 = 3*7/3 + 4*(-7/4) = 7 - 7 = 0

$f2(x)=3x+4y2=3x+\sqrt{98-9x^2} }$
$f2'(x)=3+\frac{-18x}{2\sqrt{98-9x^2}} = 3-\frac{9x}{\sqrt{98-9x^2}} = \frac{3\sqrt{98-9x^2}-9x}{\sqrt{98-9x^2}} =0$
3√(98 - 9x^2) - 9x = 0
√(98 - 9x^2) = 3x
98 - 9x^2 = 9x^2
18x^2 = 98
9x^2 = 49
x3 = -√(49/9) = -7/3; x4 = √(49/9) = 7/3
y2 = √(98 - 9x^2)/4 = √(98 - 49)/4 = √49/4 = 7/4
f2(x) = 3x3 + 4y2 = 3*(-7/3) + 4*7/4 = -7 + 7 = 0
f2(x) = 3x4 + 4y2 = 3*7/3 + 4*7/4 = 7 + 7 = 14 - это максимум.