Пусть прямая <em>а</em> пересекает АС в т.В1, ВС в т.А1.
А1В1 делит ∆ АВС на две равновеликие части, т. е. на треугольник и четырехугольник равной площади.
S ∆ А1B1C=S BАB1А1= S ∆ABC:2
Прямоугольные треугольники с общим острым углом подобны.
∆ CA1B1~ ∆ СAB.
<em>Площади подобных фигур относятся как <u>квадраты</u> отношения линейных размеров их сходственных элементов</em>.
k²=2 ⇒ k=√2
АВ:А1В1=√2 ⇒ A1B1=AB:√2
АВ найдем из ∆ АВD.
Примем коэффициент отношения отрезков AD:CD равным х.
<em>Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.</em><span> </span>
Т.е. ВD² =АD•CD
Тогда 80=40•9x<span>² </span>
9х²=2⇒ х=(√2)/3 и <em> AD</em>=9•(√2)/3 =<em>3√2</em>
<em>Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу</em>.
АВ²= BD²+AD²
АВ=√(80+9•2)=√49•2=7√2 ⇒ A1B1=7√2:√2=<em>7</em>