Question

Вычислить интеграл, выделив целую часть дроби (применяя деление «уголком» многочлена на многочлен) и разложив интеграл на сумму более простых интегралов.

Answer 1

 _  x⁵ + 2    | x²-4
      x⁵- 4x³     x³+4x
     ---------
         _ 4x³+2
            4x³-16x
             ---------
                  16x +2
                

(x⁵+2)/(x²-4)=x³+4x + (16x+2/(x²-4))

$\int\limits { \frac{x^5+2}{x^2-4} } \, dx= \int\limits (x^3+4x+ \frac{16x+2}{x^2-4})dx= \\ \\ = \int\limits (x^3+4x+8\cdot \frac{2x}{x^2-4}+ \frac{1}{2(x-2)}- \frac{1}{2(x+2)} )dx= \\ \\ == \frac{x^4}{4}+2x^2+8ln|x^2-4|+ \frac{1}{2} ln|x-2|- \frac{1}{2}ln|x+2|+C.$