Question

С формулами и объяснением

1. Материальная точка движется вдоль прямой линии по закону x = A*t2, где A = 5 м/с2. Найдите ускорение точки в момент времени t = 3 с. Является ли такое движение равноускоренным или нет и почему?
2. Брошенный вверх камень достиг наивысшей точки траектории через три секунды после броска. С какой скоростью был брошен камень?
3. Маховик начал вращаться равноускоренно и за 10 с достиг частоты вращения 300 об/мин. Определите угловое ускорение маховика и количество оборотов, которое он сделал за это время.

Answer 1

1. 
Скорость - это первая производная пути по времени.
Ускорение - это производная от скорости по времени или вторая производная пути по времени.
$x = At^2$
$a = \frac{d^2x}{dt^2} = (At^2)'' = (2At)' = 2A = 10$ м/с²
Если вы не проходили производные или такой метод, то можно записать основное уравнение равноускоренного движения:
$x = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$
Теперь запишем наше и сравним
$x= x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2} = 0 + 0+ At^2$
Получилось, что $\frac{at^2}{2} = At^2$ 
Откуда $a = 2A = 10$м/с²
Движение равноускоренное, так как оно соответствует уравнению равноускоренного движения. 
2.
$\frac{V_1-V_0}{t} = a$
В наивысшей точке траектории скорость камня будет равна 0, а ускорение будет равно g = 9,8 м/с²
$v - v_o = gt$
$v = gt = 3*9,8 = 29,4$ м/с
3.
$\omega = \omega_0 + \varepsilon t$, где омега - это угловая скорость, а эпсилон - это угловое ускорение. 
$\omega = 2 \pi n$
$2 \pi n = \varepsilon t$
$\varepsilon = \frac{2 \pi n }{t} = \frac{3,14*2*(300/60)}{10} = \frac{3,14*2*5}{10} = 3,14$ рад/с²
$N = \frac{\varphi}{2 \pi }$
Можно решать через интеграл:
$\varphi = \int\limits^t_0 {\omega} \, dt = \int\limits^t_0 \varepsilon t dt = \varepsilon\int\limits^t_0 t dt = \frac{\varepsilon t^2}{2}$
Отсюда 
$N = \frac{\varepsilon t^2}{4 \pi } = 25.$
Или записать уравнение движения:
$\varphi = \varphi_0 + \omega_0t + \frac{\varepsilon t^2}{2}$
$\varphi_0 = 0$
$\omega_0 = 0$
$\varphi = \frac{\varepsilon t^2}{2}$
$N = \frac{\varphi}{2 \pi } = \frac{\varepsilon t^2}{4 \pi } = 25$