Пусть скорость лодки - х
2*36=(х-3)*5+(х+3)*5
72=5х-15+5х+15
72=10х
х=7.2км/ч
<span>cos (a+B)+ cos(a-B)=2 cosa cosB</span>
<span>cosacosb-sinasinb+cosacosb+sinasinb=cosacosb+cosacosb=2 cosa cosB</span>
X - цена карандаша
X+200 - альбома
2(x+200) - книги
x+x+200+2(x+200)=800
4x+600=800
4x=200
x=50
x+200=250 - цена альбома
Докажем, что все члены последовательности лежат в пределах [3/2;2].
x_1 там лежит; пусть для некоторого n выполнено 3/2≤x_n≤2;
тогда 1/2≤1/x_n≤2/3⇒3/2≤1+(1/x_n)≤5/3<2⇒3/2≤x_(n+1)≤2; тем самым методом математической индукции утверждение доказано для всех членов последовательности.
Далее, оценим разность между соседними членами последовательности:
|x_(n+1) - x_n|=|1+(1/x_n) - 1 - (1/x_(n-1))|=|x_(n-1) - x_n|/(x_n·x_(n-1))≤
|x_(n-1) - x_n|/(3/2)^2
Отсюда следует сходимость последовательности.
Предел A последовательности теперь ищется элементарно. Для этого нужно перейти к пределу в равенстве x_(n+1)=1+(1/x_n):
A=1+(1/A); A^2-A-1=0; A=(1+√5)/2 (отрицательный корень отбросили, поскольку A>0
[2A]=[1+√5]=3
Ответ: 3
Здесь первое, третье и последнее
Не получается второе. Кажется, нет корней. Проверяйте:
(sinx + cosx)√2 = tg2x + ctg2x
Преобразуем отдельно правую и левую части:
tg2x + ctg 2x = sin2x / cos2x + cos2x / sin2x = (sin²2x + cos²2x)/(sin2x·cos2x) =
= 1 / (1/2 sin4x) = 2 / sin4x
sinx + cosx = √2(1/√2 ·sinx + 1/√2 · cosx)= √2·sin (x + π/4)
Получаем:
√2·sin (x + π/4)·√2 = <span>2 / sin4x
</span>2·sin (x + π/4) = <span>2 / sin4x
</span>sin (x + π/4) = 1<span> / sin4x
</span>sin (x + π/4) · <span>sin4x = 1
1/2 (cos (x + </span>π/4 - 4x) - cos (x + π/4 + 4x<span>)) = 1
cos(3x - </span>π/4) - cos(5x +π/4<span>) = 2
Равенство возможно только если первый косинус равен 1, а второй -1 одновременно.
</span>cos(3x - π/4<span>) = 1
</span>cos(5x +π/4<span>) = -1 это система
</span>
3x - π/4 = 2πn
5x +π/4 = π + 2πk
x = π/12 + 2πn/3
x = 3π/20 + 2πk/5
Приравняем их
π/12 + 2πn/3 = <span>3π/20 + 2πk/5
</span>1/12 +2n/3 = 3/20 + 2k/5
n = (6k + 1)/10
k - целое число, поэтому 6k - четное, <span>6k + 1 - нечетное, на 10 нацело не делится. Значит n целым не получится.
Т.е. нет таких целых k и n, чтобы корни были равны. Значит, нет решений.
Возможно, где-то ошиблась...</span>
