Если число n является элементом пересечения А и В, то есть два натуральных числа m и k, для которых выполняется,
![n=m^2\\n=k^3](https://tex.z-dn.net/?f=n%3Dm%5E2%5C%5Cn%3Dk%5E3)
Рассмотрим равенство (последовательно преобразовывая его),
![m^2=k^3\\m^2=k\cdot k^2\\m=k\cdot\sqrt{k}](https://tex.z-dn.net/?f=m%5E2%3Dk%5E3%5C%5Cm%5E2%3Dk%5Ccdot%20k%5E2%5C%5Cm%3Dk%5Ccdot%5Csqrt%7Bk%7D)
Откуда заключаем (т.к. m натурально), что существует такой натуральный d для которого выполнимо,
![k=d^2](https://tex.z-dn.net/?f=k%3Dd%5E2)
Подставляя это в прошлое равенство, получаем,
![m=d^3](https://tex.z-dn.net/?f=m%3Dd%5E3)
Т.е. для того чтобы выполнялось условие,
![m^2 = k^3](https://tex.z-dn.net/?f=m%5E2%20%3D%20k%5E3)
Должно выполняться условие,
![d^4=d^6](https://tex.z-dn.net/?f=d%5E4%3Dd%5E6)
Т.е. только тогда, когда
.