Общий знаменатель 3, 4 и 5 равен 60.
Числа 3 и 5 являются простыми, поэтому общий знаменатель будет равняться произведению 3*4*5=60.
Ответ: 60
1. log₁/₂ (3x-1)= -1
ОДЗ: 3x-1>0
3x>1
x>1/3
3x-1=(1/2)⁻¹
3x-1=2
3x=2+1
3x=3
x=1> 1/3
Ответ: в) 1.
2) log₄² x + 2log₄ x=3
ОДЗ: х>0
Пусть log₄ x=y
y²+2y=3
y²+2y-3=0
D=4+12=16
y₁=<u> -2-4 </u>= -3
2
y₂=<u> -2+4 </u>=1
2
При у= -3
log₄ x= -3
x=4⁻³
x=1/64>0
При у=1
log₄ x=1
x=4¹
x=4>0
Ответ: а) 4; 1/64
3) log₇ x - log₇ (17-4x)=log₇ 4
ОДЗ: {х>0
{17-4x>0
-4x>-17
x<17/4
x<4.25
В итоге ОДЗ: х∈(0; 4.25)
log₇ (x/(17-4x))=log₇ 4
<u> x </u>=4
17-4x
x=4(17-4x)
x=68-16x
x+16x=68
17x=68
x=4∈(0; 4,25)
Ответ: б) 4.
4. log₃ (2x-1)+log₃ (5-x)=2
ОДЗ: 2x-1>0 5-x>0
2x>1 -x>-5
x>0.5 x<5
x∈(0.5; 5)
log₃ [(2x-1)(5-x)] =2
(2x-1)(5-x)=3²
10x-5-2x²+x-9=0
-2x²+11x-14=0
2x²-11x+14=0
D=121-112=9
x₁= <u>11-3 </u>= 2∈(0.5; 5)
4
х₂ = <u>11+3 </u>= 14/4 =3,5∈(0,5; 5)
4
Ответ: г) 2; 3,5
Неравенства:
1. log₃ (2x+8)≥log₃ (x-2)
{2x+8>0
{x-2>0
{2x+8≥x-2
2x+8>0
2x>-8
x> -4
x-2>0
x>2
2x+8≥x-2
2x-x≥ -2-8
x≥ -10
{x> -4
{x>2
{x≥ -10
x∈(2; +∞)
Ответ: в) (2; +∞)
2. log₁/₂ (2-x)≥ log₁/₂ (5-2x)
{2-x>0
{5-2x>0
{2-x≤5-2x
2-x>0
-x>-2
x<2
5-2x>0
-2x>-5
x<2.5
2-x≤5-2x
-x+2x≤5-2
x≤3
{x<2
{x<2.5
{x≤3
x∈(-∞; 2)
Ответ: а) (-∞; 2)
3. log₄ (2x+4)≥2
{2x+4>0
{2x+4≥4²
2x+4>0
2x>-4
x> -2
2x+4≥16
2x≥16-4
2x≥12
x≥6
x∈[6; +∞)
Ответ: б) [6; +∞)
4. ln(4x-1)≤ln(2x+5)
{4x-1>0
{2x+5>0
{4x-1≤2x+5
4x-1>0
4x>1
x>0.25
2x+5>0
2x>-5
x> -2.5
4x-1≤2x+5
4x-2x≤5+1
2x≤6
x≤3
{x>0.25
{x> -2.5
{x≤3
x∈(0.25; 3]
Ответ: г) (0,25; 3]
2cos²x - sin2x + 4cos2x - sin2x = 0
<span>2cos²x - 2sin2x + 4cos2x = 0
</span><span>cos²x - sin2x + 2cos2x = 0
</span>cos²x - 2sinx·cosx + 2(cos²x - sin²x<span>) = 0
</span>3cos²x - 2sinx·cosx - 2sin²x = 0
Однородное уравнение. Делим обе части на cos²x, т.к. cos²x≠0
3 - 2tgx - 2tg²x = 0
2tg²x + 2tgx - 3 = 0
tgx = a
2a² + 2a - 3 = 0
D = 4 + 24 = 28
a = (-2 + 2√7)/4 = (-1 + √7)/2 или a = (-2 - 2√7)/4 = (-1 - √7<span>)/2
tgx = </span> (-1 + √7)/2 tgx = <span> (-1 - √7)/2</span><span>
x = arctg</span> (-1 + √7)/2 + πn x = -arctg (1 + √7) + πk
<span>0,3y = 70
у = 233,3
Ответ: </span>233,3
1)3x+10>1
3x>-9
x>-3
2)3x-1>-1+6x
3x<0
x<0
3)3x+0.5>3+2.5x
0.5x>2.5
x>5
4)3x-3<8x-3
5x>0
x>0
5)3-0.6x>1
0.6x<2
x>10/3