Question

Помогите решить пожалуйста, заранее большое спасибо.

Answer 1

1. log₁/₂ (3x-1)= -1
ОДЗ:  3x-1>0
           3x>1
            x>1/3

3x-1=(1/2)⁻¹
3x-1=2
3x=2+1
3x=3
x=1> 1/3
Ответ: в) 1.

2) log₄² x + 2log₄ x=3
ОДЗ: х>0
Пусть log₄ x=y
y²+2y=3
y²+2y-3=0
D=4+12=16
y₁= -2-4 = -3
          2
y₂= -2+4 =1
          2

При у= -3
log₄ x= -3
x=4⁻³
x=1/64>0

При у=1
log₄ x=1
x=4¹
x=4>0
Ответ: а) 4; 1/64

3) log₇ x - log₇ (17-4x)=log₇ 4
ОДЗ: {х>0               
         {17-4x>0    
            -4x>-17
               x<17/4
               x<4.25
 В итоге ОДЗ: х∈(0; 4.25)

log₇ (x/(17-4x))=log₇ 4
      x    =4
  17-4x 
x=4(17-4x)
x=68-16x
x+16x=68
17x=68
x=4∈(0; 4,25)
Ответ: б) 4.

4. log₃ (2x-1)+log₃ (5-x)=2
ОДЗ: 2x-1>0                 5-x>0
          2x>1                     -x>-5
          x>0.5                     x<5
x∈(0.5; 5)

log₃ [(2x-1)(5-x)] =2
(2x-1)(5-x)=3²
10x-5-2x²+x-9=0
-2x²+11x-14=0
2x²-11x+14=0
D=121-112=9
x₁= 11-3 = 2∈(0.5; 5)
          4
х₂ = 11+3 = 14/4 =3,5∈(0,5; 5)
            4
Ответ: г) 2; 3,5

Неравенства:
1. log₃ (2x+8)≥log₃ (x-2)
{2x+8>0
{x-2>0
{2x+8≥x-2

2x+8>0
2x>-8
x> -4

x-2>0
x>2

2x+8≥x-2
2x-x≥ -2-8
x≥ -10

{x> -4
{x>2
{x≥ -10
x∈(2; +∞)
Ответ: в) (2; +∞)

2. log₁/₂ (2-x)≥ log₁/₂ (5-2x)
{2-x>0
{5-2x>0
{2-x≤5-2x

2-x>0
-x>-2
x<2

5-2x>0
-2x>-5
x<2.5

2-x≤5-2x
-x+2x≤5-2
x≤3

{x<2
{x<2.5
{x≤3
x∈(-∞; 2)
Ответ: а) (-∞; 2)

3. log₄ (2x+4)≥2
{2x+4>0
{2x+4≥4²

2x+4>0
2x>-4
x> -2

2x+4≥16
2x≥16-4
2x≥12
x≥6
x∈[6; +∞)
Ответ: б) [6; +∞)

4. ln(4x-1)≤ln(2x+5)
{4x-1>0
{2x+5>0
{4x-1≤2x+5

4x-1>0
4x>1
x>0.25

2x+5>0
2x>-5
x> -2.5

4x-1≤2x+5
4x-2x≤5+1
2x≤6
x≤3

{x>0.25
{x> -2.5
{x≤3
x∈(0.25; 3]
Ответ: г) (0,25; 3]