Question

Требуется переместить кубик по шероховатой горизонтальной
поверхности на некоторое расстояние L >> a, где a – длина ребра кубика.
Что выгоднее – медленно кантовать кубик через ребро или медленно дви-
гать, прилагая при этом горизонтальную силу? Коэффициент трения меж-
ду кубиком и поверхностью равен 0,5.

Answer 1

При перетаскивании все просто - мы совершаем работу против силы трения, которая равна половине веса кубика (коэфт. трения 0.5) поэтому работа будет равна 

$A_1 = 0.5 mg\cdot L$

С кантованием поступим так. Рассмотрим один период кантования, если мы поставим кубик на ребро так, что центр кубика окажется точно над ним, то он сам перекатится и этого будет достаточно. Когда кубик стоит на ребре, его центр масс находится на расстоянии $a/\sqrt{2}$ от пола, а изначально (когда кубик стоит на грани), центр масс находится на расстоянии $a/2$ над столом.

Следовательно, за один период кантования надо прирастить потенциальную энергию кубика на 

$\Delta W = mg(a/\sqrt{2}-a/2) = mga(\sqrt{2}-1)/2$

Собственно, это наша работа за 1 цикл кантования, при этом кубик сместится на расстояние a. Для большого числа циклов можно утверждать, что

$L = Na = N\Delta W/[mg(\sqrt{2}-1)/2)] = A/[mg(\sqrt{2}-1)/2)]\\\\ A = mgL(\sqrt{2}-1)/2$

Это число явно меньше первой оценки, поэтому ответ: кантовать