Question

Построить треугольник

Answer 1

$A(-2;2) , \ B(-8;-5), \ C(4;0)$.

1)

Прямая $AB$ проходит через точки $(-2;2)$ и $(-8;-5)$.
Найдём уравнение этой прямой, решив систему уравнений:$\begin{cases} & 2=-2 a+b \\ & -5=-8a+b \end{cases}$
Откуда $a= \frac{7}{6}, \ b= \frac{13}{3} .$ А уравнение стороны  $AB$  выглядит так: $\ y= \frac{7}{6} x+ \frac{13}{3} .$

Прямая $BC$ проходит через точки $(-8;-5)$ и $(4;0)$.
Найдём уравнение этой прямой, решив систему уравнений:$\begin{cases} & -5=-8 a+b \\ & 0=4a+b \end{cases}$
Откуда $a= \frac{5}{12}, \ b= -\frac{5}{3} .$ А уравнение стороны  $AC$ выглядит так: $\  y= \frac{5}{12} x- \frac{5}{3} .$

Прямая $AC$ проходит через точки $(-2;2)$ и $(4;0)$.
Найдём уравнение этой прямой, решив систему уравнений:
$\begin{cases} & 2=-2 a+b \\ & 0=4a+b \end{cases}$
Откуда $a= -\frac{1}{3}, \ b= 1 .$ А уравнение стороны $BC$  выглядит так: $\ y= -\frac{1}{3} x+ \frac{4}{3}$.


2)

Координаты точки $M$ пересечения медиан треугольника находятся по формуле $M\left( \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3} ; \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ , где $x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3$ - координаты вершин соответствующих сторон треугольника.
Значит, точка пересечения медиан имеет следующие координаты: $M\left( \dfrac{-2+(-8)+4}{3} ; \dfrac{2+(-5)+0}{3} \right)=M\left( -2 ; -1 \right).$


3)

Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$ вычисляется по формуле $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Уравнение стороны $BC$ перепишем в виде $y= \frac{5}{12} x-\frac{5}{3}=0 \ \Leftrightarrow \ 5x-12y-20=0$.
Расстояние от точки $A(-2;2)$ до прямой $5x-12y-20=0$ и равно длине высоты $AH_A$ :
$AH_A=\dfrac{|5\cdot(-2)+(-12)\cdot2+(-20)|}{\sqrt{5^2+12^2}} = \dfrac{54}{13}$.



4) Площадь треугольника равна полупроизведению высоты на основание, на которое опущена высота. Конкретно в нашем треугольнике:
$S= \frac{1}{2} BC\cdot AH_A$.

Длину $BC$ найдём по теореме Пифагора:
$BC=\sqrt{(-8-4)^2+(-5-0)^2}=13$.

$S= \frac{1}{2} \cdot13 \cdot\frac{54}{13} =27$.