Если треугольная пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник.
Площадь правильного треугольника:
![S= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%20%5Cfrac%7Ba%5E2%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%20)
где а - сторона треугольника.
Объем равен:
![V= \frac{1}{3}*S*h](https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2AS%2Ah%20)
Отсюда выражаем высоту h:
![h= \frac{3V}{S}](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%20%5Cfrac%7B3V%7D%7BS%7D%20)
подставляем формулу площади треугольника и V=1 см³
![h= \frac{3*1}{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} }= \frac{12}{a^2 \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3} }{a^2}](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%20%5Cfrac%7B3%2A1%7D%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E2%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7B12%7D%7Ba%5E2%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B4%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7Ba%5E2%7D%20)
Апофему L можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где катетами являются высота пирамиды h и радиус вписанной окружности r
![L= \sqrt{h^2+r^2}](https://tex.z-dn.net/?f=L%3D%20%5Csqrt%7Bh%5E2%2Br%5E2%7D%20)
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник:
![r= \frac{a}{2 \sqrt{3} } \\ \\ L= \sqrt{h^2+r^2}= \sqrt{(\frac{4 \sqrt{3} }{a^2})^2+( \frac{a}{2 \sqrt{3} })^2} = \sqrt{ \frac{48}{a^4} + \frac{a^2}{12} }= \sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} } \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20L%3D%20%5Csqrt%7Bh%5E2%2Br%5E2%7D%3D%20%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7B4%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7Ba%5E2%7D%29%5E2%2B%28%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%29%5E2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B48%7D%7Ba%5E4%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B12%7D%20%7D%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20)
В итоге получилась функция вида:
![L(a)= \sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }](https://tex.z-dn.net/?f=L%28a%29%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D)
Чтобы найти наименьшее значение апофемы, то есть наименьшее значение функции L(a), нужно найти точку минимума. Для этого надо взять производную:
![L'(a)= \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{6a^5*12a^4-48a^3(a^6+576)}{144a^8} = \\ \\ =\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{72a^9-48a^9-27648a^3}{144a^8}= \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{24a^9-27648a^3}{144a^8} = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{24a^3(a^6-1152)}{144a^8} = \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{a^6-1152}{6a^5}](https://tex.z-dn.net/?f=L%27%28a%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B6a%5E5%2A12a%5E4-48a%5E3%28a%5E6%2B576%29%7D%7B144a%5E8%7D%20%3D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B72a%5E9-48a%5E9-27648a%5E3%7D%7B144a%5E8%7D%3D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B24a%5E9-27648a%5E3%7D%7B144a%5E8%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B24a%5E3%28a%5E6-1152%29%7D%7B144a%5E8%7D%20%3D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D%7D%20%2A%20%5Cfrac%7Ba%5E6-1152%7D%7B6a%5E5%7D%20)
Находим ОДЗ производной:
Подкоренное выражение должно быть больше либо равен нулю, но так как корень квадратный стоит в знаменателе, значит Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
Так как a⁶≥0 и а⁴≥0, значит
![\frac{ a^6+576}{12a^4}\ \textgreater \ 0 \\](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20a%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%20%5C%5C%20)
- при любых а, кроме а=0
Знаменатель не должен равняться нулю, значит
![1) \ a^4 \neq 0; \ =\ \textgreater \ \ a_{1,2,3,4} \neq 0 \\ \\ 2) \ a^5 \neq 0; \ =\ \textgreater \ \ a_{1,2,3,4,5} \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=1%29%20%5C%20a%5E4%20%5Cneq%200%3B%20%5C%20%3D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20%5C%20a_%7B1%2C2%2C3%2C4%7D%20%20%5Cneq%200%20%5C%5C%20%20%5C%5C%202%29%20%5C%20a%5E5%20%5Cneq%200%3B%20%5C%20%3D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20%5C%20a_%7B1%2C2%2C3%2C4%2C5%7D%20%5Cneq%200)
теперь приравниваем производную к нулю
![\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{a^6-1152}{6a^5} =0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D%7D%20%2A%20%5Cfrac%7Ba%5E6-1152%7D%7B6a%5E5%7D%20%3D0)
Было сказано, что
![\frac{ a^6+576}{12a^4}\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20a%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%20)
значит
![\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} \ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Ba%5E6%2B576%7D%7B12a%5E4%7D%20%7D%7D%20%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200)
это выражение не имеет корней, поэтому все уравнение можно на него разделить:
![\frac{a^6-1152}{6a^5} =0 \\ \\ a^6-1152=0 \\ \\ a^6=1152 \\ \\ a= ^+_-\sqrt[6]{1152} \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba%5E6-1152%7D%7B6a%5E5%7D%20%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a%5E6-1152%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a%5E6%3D1152%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a%3D%20%5E%2B_-%5Csqrt%5B6%5D%7B1152%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20)
Откладываем все корни уравнения и точки из ОДЗ на координатной оси и методом интервалов определяем точки минимума
![---[ - \sqrt[6]{1152} ]+++(0)---[ \sqrt[6]{1152} ]+++\ \textgreater \ a](https://tex.z-dn.net/?f=---%5B%20-%20%5Csqrt%5B6%5D%7B1152%7D%20%5D%2B%2B%2B%280%29---%5B%20%20%5Csqrt%5B6%5D%7B1152%7D%20%5D%2B%2B%2B%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20a)
получились две точки минимума:
![a=\sqrt[6]{1152} \\ a=- \sqrt[6]{1152}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Csqrt%5B6%5D%7B1152%7D%20%5C%5C%20a%3D-%20%20%5Csqrt%5B6%5D%7B1152%7D%20)
Вторая точка точка нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной.
Наконец находим минимальное значении функции, и тем самым наименьшую длину апофемы
![L(\sqrt[6]{1152} )= \sqrt{ \frac{(\sqrt[6]{1152} )^6+576}{12*(\sqrt[6]{1152} )^4} }= \sqrt{ \frac{1152+576}{12*1152^{ \frac{4}{6} } } }= \sqrt{ \frac{1728}{12*1152^{ \frac{2}{3}} }} = \\ \\ = \sqrt{ \frac{144}{1152^{ \frac{2}{3}} } }= \frac{ \sqrt{144} }{ \sqrt{1152^{ \frac{2}{3} }} }= \frac{12}{1152^{ \frac{1}{3} }} = \frac{12}{ \sqrt[3]{1152} } \\ \\ OTBET: \ \frac{12}{ \sqrt[3]{1152} }](https://tex.z-dn.net/?f=L%28%5Csqrt%5B6%5D%7B1152%7D%20%29%3D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%5B6%5D%7B1152%7D%20%29%5E6%2B576%7D%7B12%2A%28%5Csqrt%5B6%5D%7B1152%7D%20%29%5E4%7D%20%7D%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B1152%2B576%7D%7B12%2A1152%5E%7B%20%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%20%7D%20%7D%20%7D%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B1728%7D%7B12%2A1152%5E%7B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%20%7D%7D%20%3D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B144%7D%7B1152%5E%7B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%20%7D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B144%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7B1152%5E%7B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%7D%7D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7B12%7D%7B1152%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7D%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7B12%7D%7B%20%5Csqrt%5B3%5D%7B1152%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20OTBET%3A%20%5C%20%5Cfrac%7B12%7D%7B%20%5Csqrt%5B3%5D%7B1152%7D%20%7D%20%20)