Question

Если x+y=1 то наименьшее значение выражения x^4+y^4 равно

Answer 1

Если х+у = 1, то у = 1-х.
Подставим эту зависимость в заданное выражение и получаем функцию
f(x) = х⁴+(1-х)⁴.
Производная этой функции равна:
f"(x) = 4x³-4(1-x)³.
Приравняв производную нулю, найдём критические точки.
4x³-4(1-x)³ = 0  или, сократив на 4, x³-(1-x)³ = 0.
Раскроем скобки и приведём подобные:
2х³-3х²+3х-1 = 0.
Разложим на множители: (2х-1)(х²-х+1) = 0.
Первый корень: 2х-1 = 0, х = 1/2.
х²-х+1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-1)^2-4*1*1=1-4=-3; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.

Остаётся одно решение:
х = у = (1/2).