task/29383339
-----------------------
a) Решите уравнение (2sin²x - 7sinx+3) * ㏒₂(x -8) =0 .
б) Найдите все корни этого уравнения,принадлежащие промежутку
(3π ; 6π) . * * * x ∈ ( 3π ; 6π) * * *
------------------------------------------------
a)
ОДЗ : x -8 >0 ⇒ x ∈ ( 8 ; ∞ ) .
(2sin²x - 7sinx+3) * ㏒₂(x -8) =0 .⇔
(совокупности) [ ㏒₂(x -8) =0 ; { 2sin²x - 7sinx+3 =0 ; x > 8 .
㏒₂(x -8) =0 ⇔ ㏒₂(x -8) =㏒₂ 1 ⇔ x - 8 = 1 ⇒ x = 9.
2sin²x - 7sinx+3 =0 (квадратное уравнение относительно sinx )
* * * D =7² -4*2*3 =49 - 24 =25 =5² * * *
[ sinx =(7 - 5)/4 =1/2 ; sinx =(7+5)/4 =3 .
⇔ x = (-1)⁻ⁿ *π/6+ πn ,n∈ℤ (целое число)
* * sinx =3 > 1 не имеет решения _ x ∈ ∅ * * *
но учитывая x > 8 , получаем ответ для подпункта а (общее решение) :
x₁ =9 ;
x₂ =π/6 +2πk ; k ∈ ℕ , k ≥ 2 * * * π/6 +π*(2k) * **
x₃ = (π - π/6) +2πk , k ∈ ℕ , k ≥ 1 * * * - π/6 +π*(2k+1) * * *
* * * x₃ = 5π /6 +2πk ,k ∈ ℕ , k ≥ 1 * * *
-------------------
б ) Выбираем корни принадлежащие промежутку (3π ; 6π) .
x₁ = 9 ∉ (3π ; 6π) не является частным решением
3π < π/6 +2πk < 6π ⇔ 3π - π/6< 2πk < 6π - π/6 ⇔ 17/12 < k < 35/12 ⇒ k=2 , следовательно x₂' =π/6 +2π*2 = 25π / 6 ;
3π < 5π /6 +2πk < 6π ⇔ 13π/6 < 2πk <31π/6⇔ 13/12 < k < 31π/12 ⇒ k=2 ,
x₃' =5π /6 +2π*2 = 29π / 6 .
ответ для подпункта б : 25π / 6 ; 29π / 6 .
