Question

Решите уравнение 4sin^2x+8cosx+1=0.В ответе укажите наибольший отрицательный его корень:а).-p\6. б).-4p\3.в).-2p\3 г).-p\3

Answer 1

$4\sin^2x+8\cos x+1=0$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$4(1-\cos^2x)+8\cos x+1=0 \\\ 4-4\cos^2x+8\cos x+1=0 \\\ 4\cos^2x-8\cos x-5=0 \\\ D_1=(-4)^2-4\cdot(-5)=16+20=36 \\\ \cos x \neq \dfrac{4+6}{4} = 2.5\ \textgreater \ 1 \\\ \cos x =\dfrac{4-6}{4} = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=\pm \dfrac{2 \pi }{3}+2\pi n, \ n\in Z$

Рассмотрим первую серию корней:
при n=0: $x= \dfrac{2 \pi }{3}$
при n=-1: $x= \dfrac{2 \pi }{3} - \pi = -\dfrac{4 \pi }{3}$
Получившийся корень -4п/3 - наибольший отрицательный корень этой серии.

Рассмотрим вторую серию корней:
при n=0: $x= -\dfrac{2 \pi }{3}$
при n=1: $x= -\dfrac{2 \pi }{3} + \pi =\dfrac{4 \pi }{3}$
Последний получившийся корень положительный, значит предыдущий корень -2п/3 - наибольший отрицательный корень этой серии.

Из двух корней -4п/3 и -2п/3 наибольшим является -2п/3.

Ответ: -2п/3