Ваш вопрос отправлен в категорию "досуг и развлечения". Где-то здесь и находится определённый ключ к пониманию этой проблемы.
Если я сейчас скажу: "Нельзя! Я сказала - нельзя!", то многие весело и громко рассмеются. Некоторые искупаются, чтобы доказать, что с ними ничего дурного не произошло. Да и не произойдёт видимо, не будем чрезвычайно мистифицировать эту дату. Эти люди относятся к празднику Ильи-пророка, как к досугу, к развлечению и не понимают, почему они должны испытывать какие-то ограничения.
<hr />
Другие купаться не посоветуют и отнесутся к этому вопросу философски.
<hr />
Дело в том, что приблизительно к этой дате в некоторых водоёмах начинаются холодные подводные течения. Человек может попасть в них, и его мышцы может охватить судорога. Это крайне опасно.
Наверное, это явление и некоторые наблюдения легли в основу такого суеверия.
Но каждый решает сам - можно или нельзя.
Ответ: на мой взгляд, нежелательно. Чтобы ни нам, ни нашим родным ничего плохого не думалось.