1) Найдем, где эти графики пересекаются. Приравняем правые части.
![\sqrt{9-6x+x^2}=4 \sqrt{x-3}+12](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B9-6x%2Bx%5E2%7D%3D4+%5Csqrt%7Bx-3%7D%2B12++)
Возведем в квадрат обе части
![9 - 6x + x^2 = 16(x - 3) + 96 \sqrt{x-3}+144](https://tex.z-dn.net/?f=9+-+6x+%2B+x%5E2+%3D+16%28x+-+3%29+%2B+96+%5Csqrt%7Bx-3%7D%2B144+)
![(x-3)^2=16(x-3)+96 \sqrt{x-3}+144](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-3%29%5E2%3D16%28x-3%29%2B96+%5Csqrt%7Bx-3%7D%2B144+)
Замена
![y= \sqrt{x-3}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Csqrt%7Bx-3%7D+)
y^4 - 16y^2 - 96y - 144 = 0
Преобразуем
y^4 - 6y^3 + 6y^3 - 36y^2 + 20y^2 - 120y + 24y - 144 = 0
Раскладываем на множители
(y - 6)(y^3 + 6y^2 + 20y + 24) = 0
y1 = √(x - 3) = 6; x1 = 6^2 + 3 = 39
Решаем кубическое уравнение
y^3 + 6y^2 + 20y + 24 = 0
Преобразуем
y^3 + 2y^2 + 4y^2 + 8y + 12y + 24 = 0
(y + 2)(y^2 + 4y + 12) = 0
y2 = √(x - 3) = -2 - не подходит, так как корень арифметический.
y^2 + 4y + 12 = 0 - это уравнение корней не имеет.
Ответ: графики пересекаются в точке x = 39
2)
![\sqrt{x-2+ \sqrt{2x-5} } + \sqrt{x+2+ 3\sqrt{2x-5} }=7 \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7Bx-2%2B+%5Csqrt%7B2x-5%7D+%7D+%2B+%5Csqrt%7Bx%2B2%2B+3%5Csqrt%7B2x-5%7D+%7D%3D7+%5Csqrt%7B2%7D+)
Область определения: 2x - 5 >= 0; x >= 5/2, при этом
x-2+√(2x-5) >= 5/2 - 2 + 0 = 1/2 > 0
Разносим большие корни на разные стороны
![\sqrt{x-2+ \sqrt{2x-5} } =7 \sqrt{2} - \sqrt{x+2+ 3\sqrt{2x-5} }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7Bx-2%2B+%5Csqrt%7B2x-5%7D+%7D+%3D7+%5Csqrt%7B2%7D+-+%5Csqrt%7Bx%2B2%2B+3%5Csqrt%7B2x-5%7D+%7D)
Возводим обе части в квадрат
![x-2+ \sqrt{2x-5}=98-14 \sqrt{2(x+2+3 \sqrt{2x-5} )} +x+2+3 \sqrt{2x-5}](https://tex.z-dn.net/?f=x-2%2B+%5Csqrt%7B2x-5%7D%3D98-14+%5Csqrt%7B2%28x%2B2%2B3+%5Csqrt%7B2x-5%7D+%29%7D+%2Bx%2B2%2B3+%5Csqrt%7B2x-5%7D++)
Переносим большой корень налево, остальное направо
![14 \sqrt{2x+4+6 \sqrt{2x-5}} =102+2 \sqrt{2x-5}](https://tex.z-dn.net/?f=14+%5Csqrt%7B2x%2B4%2B6+%5Csqrt%7B2x-5%7D%7D+%3D102%2B2+%5Csqrt%7B2x-5%7D+)
Делим все на 2
![7 \sqrt{2x+4+6 \sqrt{2x-5}} =51+\sqrt{2x-5}](https://tex.z-dn.net/?f=7+%5Csqrt%7B2x%2B4%2B6+%5Csqrt%7B2x-5%7D%7D+%3D51%2B%5Csqrt%7B2x-5%7D)
Снова возводим в квадрат
49(2x + 4 + 6√(2x-5)) = 51^2 + 102√(2x-5) + 2x - 5
98x + 196 + 294√(2x-5) = 2601 + 102√(2x-5) + 2x - 5
Опять переносим корень налево, а остальное направо
192√(2x - 5) = -96x + 2400
Делим все на 96
2√(2x - 5) = 25 - x
Делим всё на 3 и третий раз возводим в квадрат
4(2x - 5) = 625 - 50x + x^2
x^2 - 50x - 8x + 625 + 20 = 0
x^2 - 58x + 645 = 0
D/4 = 29^2 - 645 = 841 - 645 = 196 = 14^2
x1 = 29 - 14 = 15
x2 = 29 + 14 = 43
Делаем проверку:
1)
![\sqrt{15-2+ \sqrt{30-5} }+ \sqrt{15+2+3 \sqrt{30-5} } = \sqrt{13+5}+ \sqrt{17+15}=](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B15-2%2B+%5Csqrt%7B30-5%7D+%7D%2B+%5Csqrt%7B15%2B2%2B3+%5Csqrt%7B30-5%7D+%7D+%3D+%5Csqrt%7B13%2B5%7D%2B+%5Csqrt%7B17%2B15%7D%3D+++)
![= \sqrt{18}+ \sqrt{32} =3 \sqrt{2} +4 \sqrt{2} =7 \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D+%5Csqrt%7B18%7D%2B+%5Csqrt%7B32%7D+%3D3+%5Csqrt%7B2%7D+%2B4+%5Csqrt%7B2%7D+%3D7+%5Csqrt%7B2%7D++)
- подходит
2)
![\sqrt{43-2+ \sqrt{86-5} }+ \sqrt{43+2+3 \sqrt{86-5} } = \sqrt{41+9}+ \sqrt{45+27}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B43-2%2B+%5Csqrt%7B86-5%7D+%7D%2B+%5Csqrt%7B43%2B2%2B3+%5Csqrt%7B86-5%7D+%7D+%3D+%5Csqrt%7B41%2B9%7D%2B+%5Csqrt%7B45%2B27%7D%3D)
![= \sqrt{50}+ \sqrt{72} =5 \sqrt{2} +6 \sqrt{2} =11 \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D+%5Csqrt%7B50%7D%2B+%5Csqrt%7B72%7D+%3D5+%5Csqrt%7B2%7D+%2B6+%5Csqrt%7B2%7D+%3D11+%5Csqrt%7B2%7D+)
- лишний
Ответ: 15