ГЛАВНАЯПОИСКЗАКАЗАТЬ!
S • Математика • Матрицы и определители
2. Определители
Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i > j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1→2, 2→1, 4→3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
. (4.3)
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
, (4.4)
где индексы q1 , q2 ,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q , где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ A = или det A= (детерминант, или определитель, матрицы А).
Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых aij = bj + cj (j = ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj , в другом - из элементов cj .
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
Минором Mij элемента aij определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя d называется его минор Mij , взятый со знаком (-1)i+j . Алгебраическое дополнение элемента aij будем обозначать Aij . Таким образом, Aij = (-1)i+j + Mij .
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.
Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки
d = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +... + ain Ain (i = )
или j- гостолбца
d = a1j A1j + a2j A2j +... + anj Anj (j = ).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.
Мистецтво, одна з форм суспільної свідомості, складова частина духовної культури людства, специфічний рід практично-духовного освоєння світу. У цьому плані до мистецтва відносять групу різновидів людської діяльності - живопис, музику, театр, художню літературу (яку іноді виділяють особливо - вираження "література і мистецтво") і т.п., поєднуваних тому, що вони є специфічними - художньо-образними формами відтворення дійсності.
Художньо-творча діяльність людини розгортається в різноманітних формах, що називають видами мистецтва, його родами і жанрами. Достаток і розмаїтість цих форм можуть показатися хаотичним накопиченням, у дійсності ж вони є закономірно організованою системою видових, родових, жанрових форм. Так, у залежності від матеріальних засобів, за допомогою яких конструюються художні твори, об'єктивно виникають три групи видів мистецтв:
1) просторові, чи пластичні (живопис, скульптура, графіка, художня фотографія, архітектура, декоративно-прикладне і дизайн), тобто такі, котрі розгортають свої образи в просторі;
2) тимчасові (словесні і музичні), тобто такі, де образи будуються в часі, а не в реальному просторі;
3) просторово-тимчасові (танець; акторське мистецтво і всі що базуються на ньому; синтетичне - театр, кіномистецтво, телемистецтво, естрадно-циркове і т.д.), тобто такі, образи яких володіють одночасно довжиною і тривалістю, тілесністю і динамізмом.
Кожен вид мистецтв безпосередньо характеризується способом матеріального буття його творів і застосовуваним типом образних знаків. У цих межах усі його види мають різновиду, що визначаються особливостями того чи іншого матеріалу і своєрідністю художньої мови, що випливає звідси.
<span>Быстрый виртуозный классический танец =Аллегро
</span><span>Выразительное движение в пантомиме= Жест
</span>
Вокальная мелодия, напоминающая разговорную речь.=Речитатив
<span>Коллектив исполнителей, непременный участник музыкального спектактя =Оркестр
</span>
<span>Дополнительный инструмент в симфоническом оркестре=Челеста</span>