2) для начала раскрываем скобки: 5р+8-р-6=2
с переменной в одну сторону, без переменной в другую: 5р-р=2+6-8
решаем: 4р=0
р=0
3)49*7^4=7^2*7^4=7^6=117649
1)х1=2*1+3=5
х2=2*2+3=7
х3=2*3+3=9
х4=11,х5=13
В подынтегральной дроби старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя. Для того чтобы разбить эту дробь, нужно поделить с остатком многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Можно делить столбиком, но в простых случаях легче сделать по другому. Расписывать все буду дьявольски подробно, на самом деле половина этих действий делается в уме:
![\frac{-2u^3-u}{-2-2u} =-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^3-u}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u^2-u}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+u}{u+1} \right)=\\=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+(u+1)-1}{u+1} \right)=(*)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-2u%5E3-u%7D%7B-2-2u%7D%20%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2u%5E3-u%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2u%5E2%28u%2B1%29-2u%5E2-u%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2u%5E2%28u%2B1%29-2u%28u%2B1%29%2Bu%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29%3D%5C%5C%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2u%5E2%28u%2B1%29-2u%28u%2B1%29%2B%28u%2B1%29-1%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29%3D%28%2A%29)
Теперь почленно делим числитель на знаменатель:
![(*)=-\frac{1}{2}\left(2u^2-2u+1- \frac{1}{u+1} \right)](https://tex.z-dn.net/?f=%28%2A%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%282u%5E2-2u%2B1-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29)
Это выражение уже легко проинтегрировать. Итак:
![\displaystyle\int\frac{2u^3-u}{-2-2u} du=-\frac{1}{2}\displaystyle\int\left(2u^2-2u+1- \frac{1}{u+1} \right)du=-\frac{1}{2} \left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u+c_1-\displaystyle\int\frac{d(u+1)}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u-\ln|u+1|+C \right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%5Cfrac%7B2u%5E3-u%7D%7B-2-2u%7D%20du%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cdisplaystyle%5Cint%5Cleft%282u%5E2-2u%2B1-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29du%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B2u%5E3%7D%7B3%7D-u%5E2%2Bu%2Bc_1-%5Cdisplaystyle%5Cint%5Cfrac%7Bd%28u%2B1%29%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2u%5E3%7D%7B3%7D-u%5E2%2Bu-%5Cln%7Cu%2B1%7C%2BC%20%5Cright%29)
Чтобы проверить правильный ли мы получили ответ, возьмём от него производную:
![\frac{d}{du} \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u-\ln|u+1|+C \right)\right]=-\frac{1}{2}\left(2u^2-2u+1-\frac{1}{u+1} \right)=\\=-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3+2u^2-2u^2-2u+u+1-1}{u+1} \right)=\frac{2u^3-u}{-2-2u}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdu%7D%20%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2u%5E3%7D%7B3%7D-u%5E2%2Bu-%5Cln%7Cu%2B1%7C%2BC%20%5Cright%29%5Cright%5D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%282u%5E2-2u%2B1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29%3D%5C%5C%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2u%5E3%2B2u%5E2-2u%5E2-2u%2Bu%2B1-1%7D%7Bu%2B1%7D%20%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B2u%5E3-u%7D%7B-2-2u%7D)
Всё верно.
<span>стало каждого х кг
первого было х/0,6, второго было х/0,75
х/0,6 + х/0,75 = 18
домножим на 1,5:
2,5х + 2х = 27
х = 6 кг - стало каждого
первого было х/0,6 = 10 кг
<span>второго = х/0,75 = 8 кг</span></span>
∫(dx/(x²+x-6))=∫dx/(x²+2*x*(1/2)+1/4-1/4-6)=∫(dx/((x+1/2)²-25/4)=
=∫(dx/(-(5/2)²-(x+1/2)²).
Используем формулу "Высокого логарифма":
∫(dx/(a²-x²)=(1/(2a))*(ln|a+x|/ln|a-x|)+C x≠a
(1/(2*5/2))*(ln|(-5/2+x+1/2)|/ln|(-5/2-x-1/2|)=
=(ln|x-2|/ln|-x-3|)/5==(ln|x-2|/ln|-(x+3)|)/5=(ln|x-2|/ln|x+3|)/5.