Question

При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на многочлен 1+x+x^2+...+x^n

Answer 1

При делении получится некоторый многочлен степени n:

 

$\frac{1+x^2+x^4+...+x^{2n}}{1+x+x^2+...+x^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

 

Избавимся от знаменателя:

 

$(1+x^2+x^4+...+x^{2n})=(1+x+x^2+...+x^n)(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)$

 

Раскроем скобки в правой части:

 

$a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)=$

$a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}$

 

Коэффициенты при нечётных степенях должны быть равны нулю, а коэффициенты при чётных степенях должны быть равны 1:

<var>a_0=1</var>

<var>a_0+a_1=0</var><var />

<var>a_0+a_1+a_2=1</var>

...

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=1$, при чётном n

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=0$, при нечётном n

...

<var>a_n=1</var>

 

Отсюда получаем, что $a_1=-1$,  $a_2=1$,  $a_3=-1$,  $a_4=1$, и так далее, коэффициенты с нечётными индексами равны -1, а коэффициенты с чётными индексами равны 1.

 

Так как <var>a_n=1</var><var>, то очевидно, что n должно быть чётным, при этом при любом чётном n будут существовать корректные наборы коэффициентов a_i.</var>

 

Ответ: при любом чётном n.