Нужно воспользоваться правилом Лопиталя
![\lim_{x \to 0} \frac{sin(7x)}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{(sin(7x))'}{(3x)'} = \frac{7}{3} \lim_{x \to 0} cos(7x) = \frac{7}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7Bsin%287x%29%7D%7B3x%7D+%3D+++%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7B%28sin%287x%29%29%27%7D%7B%283x%29%27%7D+%3D++%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D++%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D++cos%287x%29+%3D+++++%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D+)
![(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0 \\x^2+x=y \\y^2-8y+12=0 \\D=64-48=16=4^2 \\y_1= \frac{8+4}{2} =6 \\y_2= \frac{8-4}{2} =2 \\x^2+x=2 \\x^2+x-2=0 \\D=1+8=9=3^2 \\x_1= \frac{-1+3}{2} =1 \\x_2= \frac{-1-3}{2} =-2 \\x^2+x=6 \\x^2+x-6=0 \\D=1+24=25=5^2 \\x_3= \frac{-1+5}{2} =2 \\x_4= \frac{-1-5}{2} =-3](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2%2Bx%29%5E2-8%28x%5E2%2Bx%29%2B12%3D0%0A%5C%5Cx%5E2%2Bx%3Dy%0A%5C%5Cy%5E2-8y%2B12%3D0%0A%5C%5CD%3D64-48%3D16%3D4%5E2%0A%5C%5Cy_1%3D+%5Cfrac%7B8%2B4%7D%7B2%7D+%3D6%0A%5C%5Cy_2%3D+%5Cfrac%7B8-4%7D%7B2%7D+%3D2%0A%5C%5Cx%5E2%2Bx%3D2%0A%5C%5Cx%5E2%2Bx-2%3D0%0A%5C%5CD%3D1%2B8%3D9%3D3%5E2%0A%5C%5Cx_1%3D+%5Cfrac%7B-1%2B3%7D%7B2%7D+%3D1%0A%5C%5Cx_2%3D+%5Cfrac%7B-1-3%7D%7B2%7D+%3D-2%0A%5C%5Cx%5E2%2Bx%3D6%0A%5C%5Cx%5E2%2Bx-6%3D0%0A%5C%5CD%3D1%2B24%3D25%3D5%5E2%0A%5C%5Cx_3%3D+%5Cfrac%7B-1%2B5%7D%7B2%7D+%3D2%0A%5C%5Cx_4%3D+%5Cfrac%7B-1-5%7D%7B2%7D+%3D-3)
Ответ: x1=1; x2=-2; x3=2; x4=-3
![v=6*t^2-3*t](https://tex.z-dn.net/?f=v%3D6%2At%5E2-3%2At)
![S-?](https://tex.z-dn.net/?f=S-%3F)
как известно, скорость есть производная расстояния по времени, тогда расстояние (S) будет:
![S= \int\limits {v} \, dt = \int\limits{(6*t^2-3t)} \, dt= \frac{6t^3}{3} - \frac{3t^2}{2}+C](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+%5Cint%5Climits+%7Bv%7D+%5C%2C+dt+%3D+%5Cint%5Climits%7B%286%2At%5E2-3t%29%7D+%5C%2C+dt%3D+%5Cfrac%7B6t%5E3%7D%7B3%7D+-+%5Cfrac%7B3t%5E2%7D%7B2%7D%2BC++)
- вот она формула, выражающая зависимость расстояния от времени. Однако не определена константа C, которую мы найдем из начального условия: S(при t=2) = 1
То есть:
![S(2)=2*2^3-1.5*2^2+C=2*8-6+C=16-6+C=10+C=1](https://tex.z-dn.net/?f=S%282%29%3D2%2A2%5E3-1.5%2A2%5E2%2BC%3D2%2A8-6%2BC%3D16-6%2BC%3D10%2BC%3D1)
тогда С=-9
Тогда окончательный результат:
![S(t)=2*t^3-1.5*t^2-9](https://tex.z-dn.net/?f=S%28t%29%3D2%2At%5E3-1.5%2At%5E2-9)
4 х ² + 6 х - 2 = (х - 1)²
1) ОДЗ: 4х-8≥0, т.е. x≥2. Тогда вся левая часть ≥4, а правая равна 7/8. Поэтому корней нет.
2) Обозначим √x=a, √(x+7)=b. Заметим, что 2х=a²+b²-7. Тогда уравнение перепишется как а+b+2ab=35-(a²+b²-7)
(a+b)²+(a+b)-42=0
откуда a+b=6 или a+b=-7. Второе невозможно, т.к. a+b>0.
Итак, √x+√(x+7)=6.
√(x+7)=6-√x
x+7=36-12√x+x
12√x=29
√x=29/12
x=(29/12)²=841/144.
3). Возведем обе части в квадрат:
2х+2√(х²-6х+9)=6
х+|x-3|=3
|x-3|=3-x, откуда видно, что при х≤3 это выполнено, а при х>3 не выполнено.
Осталось проверить ОДЗ: 6x-9≥0, х≥3/2.
и х-√(6х-9)≥0
х≥√(6х-9)
х²≥6х-9
(х-3)²≥0, что всегда верно.
Итак, ответ: х∈[3/2;3].