![123^{33}+567^{77}\equiv3^{33}+2^{77}(mod\:5)=27^{11}+128^{11}\equiv2^{11}+3^{11}(mod\:5)=32*64+9*27^{3}\equiv2*4+4*2^3(mod\:5)=8+4*8=5*8\equiv0(mod\:5)](https://tex.z-dn.net/?f=123%5E%7B33%7D%2B567%5E%7B77%7D%5Cequiv3%5E%7B33%7D%2B2%5E%7B77%7D%28mod%5C%3A5%29%3D27%5E%7B11%7D%2B128%5E%7B11%7D%5Cequiv2%5E%7B11%7D%2B3%5E%7B11%7D%28mod%5C%3A5%29%3D32%2A64%2B9%2A27%5E%7B3%7D%5Cequiv2%2A4%2B4%2A2%5E3%28mod%5C%3A5%29%3D8%2B4%2A8%3D5%2A8%5Cequiv0%28mod%5C%3A5%29)
А значит выражение дает остаток 0 при делении на 5
_________________________
В решении использованы свойства сравнения чисел по модулю
A принадлежит 2 четверти, косинус с минусом
cos a=-sqrt(1-sin^2 a)=-sqrt 9/25=-3/5
(7√2+5√3)*√6=7√2*√6+5√3*√6=7√12+5√18=7√(4*3)+5√(9*2)=7*2√3+5*3√2=
=14√3+15√2
(2√3+1)(1-2√3) =(1+2√3)(1-2√3)=1²-(2√3)²=1-4*3=1-12=-11
Пусть ABCD - задуманное 4-значное число, тогда согласно условию задачи:
1) Делится на 11, значит сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах:
![A+C=B+D](https://tex.z-dn.net/?f=A%2BC%3DB%2BD)
2) Произведение цифр равно 12:
![A*B*C*D=12](https://tex.z-dn.net/?f=A%2AB%2AC%2AD%3D12)
A, B, C, D - целые числа от 0 до 9.
Разложим 12 на 4-е множителя: 12=3*1*1*4=3*1*2*2
Проверим, какая из четверок чисел соответствует условию 1)
![3+1=2+2](https://tex.z-dn.net/?f=3%2B1%3D2%2B2)
- верно,
Число должно быть наибольшим, т.е. цифра А больше цифры В, значит искомое число
<u>Ответ</u>: 3212
(-1,2)² *(1/3)³= 1,44 * 1/27 = 144/100 * 1/27 = 144/2700 =4 /75