Question

найти интервал возрастания и убывания функции: y=x^2×lnx

Answer 1

Возьмём производную. Если производная в данной точке больше 0, функция растёт и наоборот.

$y'=(x^2lnx)'=2x\cdot lnx+x^2\cdot ln'x=2x lnx+x^2/x=\\=x(2lnx+1)=x(lnx^2+1)=xln(ex^2)$

Если подлогарифмическое выражение больше 1, то логарифм больше единицы.

$ex^2>1\\x^2>1/e\\|x|>1/\sqrt{e}$

Если логарифм больше 0, то при отрицательных х производная меньше 0 (x<-1/sqrt(e)), при положительных - больше 0 (x>1/sqrt(e)).

Если логарифм меньше 0 (|x|<1/sqrt(e)), то при положительных х производная меньше 0 (0<x<1/sqrt(e)), при отрицательных - больше 0 (-1/sqrt(e)<x<0)

В крайних точках функция определена (кроме х=0), значит интервалы включают крайние значения.

Функция убывает при $x\epsilon(-\infty;-1/\sqrt{e}]\cup(0;1/\sqrt{e}]$

Возрастает при $x\epsilon[-1/\sqrt{e};0)\cup[1/\sqrt{e};+\infty)$