Question

Спростити рівняння функції y=x^4+x^4/(1+x^4 )+x^4/(1+x^4 )^2 +x^4/(1+x^4 )^3 +⋯ та знайти її значення, якщо х = 3

Answer 1

Докажем, что это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
b₁ = x⁴
b₂ = x⁴/(1 + x⁴)
b₃ = x⁴/(1 + x⁴)²
b₁b₃ = b₂² - условие существования геометрической прогрессии
x⁴·x⁴/(1 + x⁴)² = x⁸/(1 + x⁴)² = [x⁴/(1 + x²)²] - верно 
q = b₂/b₁ = x⁴/(1 + x⁴)/x⁴ = 1/(1 + x⁴)
Т.к. x > 1, то 0 < q < 1 ⇒ данная геометрическая прогрессия бесконечно убывающая.
S = b₁/(1 - q) = x⁴/[1 - 1/(1 + x⁴)] = x⁴/[(1 + x⁴ - 1)/(1 + x⁴)] =
x⁴(1 + x⁴)/x⁴ = 1 + x⁴ = 1 + 3⁴ = 1 + 81 = 82
Ответ: y = x⁴ + 1; 82.