Question

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности 3 см О-цунтр вписанной окружност уголь С=90 градусов уголь BAO=30 градусов .Найти площадь треугольника

Answer 1

Центр вписанной окружности  - точка пересечения биссектрис, следовательно АО - биссектриса <A=60.  В прямоугольном треугольнике HOA, катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузе, следовательно АО=6 см. По теореме Пифагора:
$AH^2=AO^2-HO^2=36-9=27\\ AH= \sqrt{27} =3 \sqrt{3} \\\\ AC=CH+AH=3+3 \sqrt{3}$
<B=90-<A=30
В прямоугольном треугольнике ABC, катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузе, следовательно АB=$6+6 \sqrt{3}$ см. По теореме Пифагора:
$CB^2=AB^2-CA^2=(6+6 \sqrt{3})^2-(3+3 \sqrt{3})^2=108+54 \sqrt{3}\\ CB=3 \sqrt{6(2+ \sqrt{3}) } \\\\ S=pr= \frac{1}{2} CA*CB$
Подставляем и считаем