Касательные параллельны оси абсцисс в точках экстремумов.
1) y' = 12x^3 - 84x^2 - 12x + 84 = 12(x-7)(x^2 - 1) = 12(x-7)(x-1)(x+1) = 0
x1 = -1; y(-1) = 3 + 28 - 6 - 84 + 1 = -58
x2 = 1; y(1) = 3 - 28 - 6 + 84 + 1 = 54
x3 = 7; y(7) = 3*2401 - 28*343 - 6*49 + 84*7 + 1 = -2106
2) y' = -2sin 2x + 5sin x = -4sin x*cos x + 5sin x = sin x*(5 - 4cos x) = 0
sin x = 0; x1 = 2pi*k; y(x1) = cos(4pi*k) - 5cos(2pi*k) = 1 - 5*1 = -4
x2 = pi + 2pi*k; y(x2) = cos(2pi+4pi*k) - 5(pi+2pi*k) = 1 - 5(-1) = 6
5 - 4cos x = 0; cos x = 5/4 > 1 - решений нет.
3) y' = (x - 4)^3 + x*3(x - 4)^2 = (x - 4)^2*(x - 4 + 3x) = (x - 4)^2*(4x - 4) = 0
x1 = x2 = 4; y(4) = 0
x3 = 1; y(1) = 1*(1 - 4)^3 = 1(-3)^3 = -27
1. ![4x^{2}-20x+25=0](https://tex.z-dn.net/?f=4x%5E%7B2%7D-20x%2B25%3D0)
<span>Поделим равенство на 4</span>
![x^{2}-5x+6,25=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D-5x%2B6%2C25%3D0)
<span>Заметим, что можно свернуть данное выражение в квадрат</span>
![(x-2,5)^{2}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-2%2C5%29%5E%7B2%7D%3D0)
<span>Cледовательно уравнение имеет один корень:</span>
![x=2,5](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D2%2C5)
========================================================
II способ:
1. ![4x^{2}-20x+25=0](https://tex.z-dn.net/?f=4x%5E%7B2%7D-20x%2B25%3D0)
<span>Cчитаем дискриминант:</span>
![D=(-20)^{2}-4\cdot4\cdot25=400-400=0](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%28-20%29%5E%7B2%7D-4%5Ccdot4%5Ccdot25%3D400-400%3D0)
![\sqrt{D}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7BD%7D%3D0)
следовательно уравнение иммет один корень
![x=\frac{20}{2\cdot4}=\frac{20}{8}=2,5](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cfrac%7B20%7D%7B2%5Ccdot4%7D%3D%5Cfrac%7B20%7D%7B8%7D%3D2%2C5)
======================================================
2. ![25x^{2}-10x+2=0](https://tex.z-dn.net/?f=25x%5E%7B2%7D-10x%2B2%3D0)
<span>Cчитаем дискриминант:</span>
![D=(-10)^{2}-4\cdot25\cdot2=100-200=-100](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%28-10%29%5E%7B2%7D-4%5Ccdot25%5Ccdot2%3D100-200%3D-100)
<span>Дискриминант отрицательный, следовательно уравнение не имеет действительных решений.</span>
=======================================================
3. ![12x^{2}-5x-2=0](https://tex.z-dn.net/?f=12x%5E%7B2%7D-5x-2%3D0%20)
<span>Cчитаем дискриминант:</span>
![D=(-5)^{2}-4\cdot12\cdot(-2)=25+96=121](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%28-5%29%5E%7B2%7D-4%5Ccdot12%5Ccdot%28-2%29%3D25%2B96%3D121)
<span>Дискриминант положительный:</span>
![\sqrt{D}=11](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7BD%7D%3D11)
<span>Уравнение имеет два различных корня:</span>
![x_{1}=\frac{5+11}{2\cdot12}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B5%2B11%7D%7B2%5Ccdot12%7D%3D%5Cfrac%7B16%7D%7B24%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D)
![x_{2}=\frac{5-11}{2\cdot12}=\frac{-6}{24}=-\frac{1}{4}=-0,25](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B5-11%7D%7B2%5Ccdot12%7D%3D%5Cfrac%7B-6%7D%7B24%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3D-0%2C25)