Дано: тр АВС
СВМ внешний угол угла АВС
ВР биссектриса угла МВР
РВ параллельна АС
Доказательство:
Т.к. РВ параллельна АС, то внутренние накрест лежащие углы при секущей АВ равны, по теореме о параллельности прямых.
так как МВА внешний угол, а по теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме не смежных с ним углов, то угол МВР = угол А + угол С. по определению биссектрисы, МВР = РВА = А = С.
Значит, угол А = С.
Итак, треугольник АВС равнобедренный по определению.
Найдём радиус описанной окружности.
![C=2\pi R=50\pi ,\; \; R=\frac{50\pi }{2\pi }=25](https://tex.z-dn.net/?f=C%3D2%5Cpi+R%3D50%5Cpi+%2C%5C%3B+%5C%3B+R%3D%5Cfrac%7B50%5Cpi+%7D%7B2%5Cpi+%7D%3D25)
Пусть в ΔАВС центр описан. окр. находится в точке О.Тогда ОА=ОВ=ОС=25.
ΔАОВ - равнобедренный. По теореме косинусов найдем угол АВО=углу ВАО.
![25^2=25^2+40^2-2\cdot 25\cdot 40\cdot cosABO\\\\625=2225-2000\cdot cosABO\\\\cosABO=\frac{2225-625}{2000}=\frac{4}{5}\\\\\ \textless \ ABC=2\cdot \ \textless \ ABO\\\\sinABO=\sqrt{1-cos^2ABO}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}\\\\sinABC=2\cdot sinABO\cdot cosABO=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}\\\\S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sinABC=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 40\cdot \frac{24}{25}=768](https://tex.z-dn.net/?f=25%5E2%3D25%5E2%2B40%5E2-2%5Ccdot+25%5Ccdot+40%5Ccdot+cosABO%5C%5C%5C%5C625%3D2225-2000%5Ccdot+cosABO%5C%5C%5C%5CcosABO%3D%5Cfrac%7B2225-625%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%5C%5C%5C%5C%5C+%5Ctextless+%5C+ABC%3D2%5Ccdot+%5C+%5Ctextless+%5C+ABO%5C%5C%5C%5CsinABO%3D%5Csqrt%7B1-cos%5E2ABO%7D%3D%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7B16%7D%7B25%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5C%5C%5C%5CsinABC%3D2%5Ccdot+sinABO%5Ccdot+cosABO%3D2%5Ccdot+%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B24%7D%7B25%7D%5C%5C%5C%5CS_%7B%5CDelta+ABC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+AB%5Ccdot+BC%5Ccdot+sinABC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+40%5Ccdot+40%5Ccdot+%5Cfrac%7B24%7D%7B25%7D%3D768)
Примениям 2 раза теорему, обратную теореме Пифагора - и складываем площади треугольников.
Треугольник АВN подобный треугольнику ВCF(угол ANB равен углу BFC; угол С равен углу А). отсюда АN/BF=AB/BC
отсюда АВ=2х, ВС=3х
10х=45 ; х=4,5 см
АВ=9см АD=13,5см
48/5=9,6
9,6*3=28,8
9,6*2=19,2