Question

Решите с объяснением: 2tgx + ctgx - 3 = 0

Насколько я знаю мы приводим к общему знаменателю и получается уравнение вида: (2tg^2x+1 - 3tgx)/tgx= 0

Числитель тогда равен нулу, когда знаменатель не равен нулю. Как решить тогда дальше? не считая 2tg^2+1-3tgx =0 Я знаю, что это квадратное уравнение, а вот что сделать с tg не равном нулю? решите пожалуйста, а то я тут разобраться не могу.

Answer 1

2tg(x) + ctg(x) - 3 = 0

Представим tg(x)=sin(x)/cos(x)

ctg(x)=cos(x)/sin(x)

Получим:

2sin(x)/cos(x)+cos(x)/sin(x)-3=0

Приводим к общему знаменателю

(2sin^2(x)+cos^2(x)-3sin(x)*cos(x))/sin(x)*cos(x)=0

Когда дробь равна 0? Когда числитель равен 0.

2sin^2(x)+cos^2(x)-3sin(x)*cos(x)=0

Разделим его на cos(x)

Это уравнение однородное, поэтому при делении на cos(x) мы не потеряем корней.

Получим: 2tg^2(x)+1-3tg(x)=0

Пусть tg(x)=t , причем t(принадлежит) (-бесконечности; +бесконечности)

Получим: 2t^2-3t+1=0

D=9-8=1

t1=3+1/4=1;

t2=3-1/4=1/2;

И того: tg(x)=1; tg(x)=1/2

Записываем корни 1 и 2 уравнения

x=п/4+пn; n(принадлежит) Z

x=arctg(1/2)+пn; n(принадлежит Z