С предыдущим оратором не соглашусь. На синхроническом уровне слова сыр и сырой действительно однокоренными не являются, их значения действительно разошлись разными путями много веков назад. Но в вопросе интересуются этимологией, то есть рассматривая ситуацию в диахронии. По происхождению данные слова действительно родственны. Добавлю "за компанию" сказочную формулу "мать - сыра земля", поскольку выбор именно этого эпитета кажется многим странным.
В семантическом ядре корня главным является не значение влажности, а гниения, скисания преимущественно молока. Фасмер предоставляет следующие сведения:
В нашем понимании сырость - явление негативное, мы видим в нём лишь порчу полезного продукта и распространение вредных для здоровья бактерий. У древнего человека была иная система ценностей. В гниении он видел переход вещества из одного состояния в другое - событие нейтральное, естественное. Гниющие плоды и животные удобряют почву, давая жизнь новым растениям и питание выжившим животным.
Древнейшие человеческие цивилизации (шумерская и египетская) возникли там, где происходили регулярные разливы рек, удобрявших почву илом. Почва буквально становилась сырой и удобренной разлагавшейся органикой. Это положение значительно отличалось от подсечно-огневого земледелия, когда почва удобрялась золой от сожжённого леса. Сначала плодородная, земля истощалась и требовала примерно полтора десятка лет для восстановления (переложное земледелие), которых у людей обычно не было. Они продолжали сжигать всё новые участки. Есть мнение, что именно так из маленькой пустыньки выросла огромная Сахара. Разливы Тигра, Евфрата и Нила дали людям то, что сами они не были в состоянии обеспечить: предсказуемое постоянное орошение и удобрение одних и тех же участков земли. Это позволило древним людям осесть и начать обустраивать жизнь стабильно.
Понимание сырости как блага, отражённое в языке, свидетельствует о том, что у наших индоевропейских предков было то же отношение к разливу рек, удобрению почвы и гниению как процессу, поддерживающему плодородие, что и у шумеров с египтянами. Греки и римляне поклонялись Гее (лат. Теллус) - земле как богине плодородия и называли её матерью. Остатки аналогичного верования у славян сохранились в сказочном эпитете "мать - сыра земля".
Самые древние сорта сыра - мягкие (брынза, моцарелла), многие - с белой или голубой плесенью, есть даже ныне запрещённый итальянский червивый вариант. Не всё плохо, что сыро, нужно лишь поставить ситуацию под контроль :)