Нехай а см - одна сторона прямокутника ,тоді друга дорівнює
![\frac{144}{a}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B144%7D%7Ba%7D)
см.
Периметр
![P(a)=2*(a+\frac{144}{a})](https://tex.z-dn.net/?f=P%28a%29%3D2%2A%28a%2B%5Cfrac%7B144%7D%7Ba%7D%29)
Розглянемо функцію
![f(x)=2(x+\frac{144}{x}); x>0](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D2%28x%2B%5Cfrac%7B144%7D%7Bx%7D%29%3B+x%3E0)
![f'(x)=2(1-\frac{144}{x^2})](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D2%281-%5Cfrac%7B144%7D%7Bx%5E2%7D%29)
шукаємо критичні точки
![f'(x)=0; 2(1-\frac{144}{x^2})=0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D0%3B+2%281-%5Cfrac%7B144%7D%7Bx%5E2%7D%29%3D0)
![x^2=144](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3D144)
![x_1=-\sqrt{144}=-12<0](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D-%5Csqrt%7B144%7D%3D-12%3C0)
- не підходить
![x_2=\sqrt{144}=12](https://tex.z-dn.net/?f=x_2%3D%5Csqrt%7B144%7D%3D12)
точка 12 розбиваємо промінь
![(0;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=%280%3B%2B%5Cinfty%29)
на два проміжки знакосталості (0;12) і
![(12;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=%2812%3B%2B%5Cinfty%29)
(0;12) для наприклад точки x=1;
![f'(1)=2*(1-\frac{144}{1^2})=2*(-143)<0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%281%29%3D2%2A%281-%5Cfrac%7B144%7D%7B1%5E2%7D%29%3D2%2A%28-143%29%3C0)
- значить на цьому проміжку функція f(x) спадає
![(12;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=%2812%3B%2B%5Cinfty%29)
для наприклад x=24;
![f'(x)=1-\frac{144}{24^2}=2*(1-0.25)=2*0.75>0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D1-%5Cfrac%7B144%7D%7B24%5E2%7D%3D2%2A%281-0.25%29%3D2%2A0.75%3E0)
- значить на цьому проміжку функція f(x) зростає
звідси
![x=12](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D12)
- точка локального мінімуму,
значить функція
![f(x)=2(x+\frac{144}{x})](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D2%28x%2B%5Cfrac%7B144%7D%7Bx%7D%29)
у точці х=12 приймає найменшого значення
а значить найменший периметр буде у прямокутника зі сторонами
a=12, S=144/a=144/12=12
відповідь: 12 см, 12 см