а) <span><em>Прямые называются скрещивающимися</em></span><em>, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.</em>
Прямая СА1 лежит в плоскости АСС1А1, прямая С1D1 эту плоскость пересекает в точке С1, не принадлежащей первой прямой; по определению СА1 и С1D1 – скрещивающиеся.
<em>Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку (определение).</em>
<span>Все углы правильного шестиугольника равны 120°, все его стороны равны. </span>
∆ А1В1С1 - равнобедренный, углы В1А1С1=В1С1А1=(180°-120°):2=30°. – угол D1C1А1=120°-30°=90°, угол СС1D1 прямой ( в правильной призме боковые грани - прямоугольники). ⇒
<span>С1D1 перпендикулярна плоскости, в которой лежит прямая СА1. </span>
Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны. F1A1║С1D1 и по свойству параллельных прямых также перпендикулярна плоскости АСС1А1, а, значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через А1. ⇒
Прямые F1A1║D1C1<span>, следовательно, D1C1 перпендикулярна СА1.</span>
б) Данное сечение проходит через стороны DC и и A1F1 оснований призмы.
Проведём продолжения прямых FE и СD – они пересекутся в точке K. Тогда K принадлежит плоскости сечения и плоскости FF1E1E. Прямая F1K пересечет ребро ЕЕ1 в точке Н.
Продолжим прямые DС и АВ до их пересечения в точке М. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости АА1В1В. Проведя прямую А1<span>М, получим точку её пересечения с ребром ВВ</span>1<span> в точке Р. <em>Шестиугольник А1F1HDCP</em> – сечение, площадь которого нужно найти. </span>
<span><em>S А1F1HDCP</em> =S (<u>А1F1DС</u>)+S <u>∆A1РС</u>+S <u>∆F1HD</u> </span>
<span>∆ A1РС=∆F1HD </span>
<span>В трапеции КFAM углы F и А=120°, следовательно, углы при К и М=180°-120*=60°, </span>∠<span>ВCМ =</span>∠ЕDК и равны 60° как смежные углам при вершинах основания ⇒ ∆ СВМ равносторонний, СМ=СВ=5.
<span>В прямоугольном ∆ АА1М т. В - середина катета, АВ=ВМ, </span>
<span>отрезок ВР || АА1</span>⇒<span> <em><u>ВР - средняя линия ∆ АА1М</u></em>, а точка Р – середина гипотенузы А1М треугольника А1СМ. </span>⇒
СР медиана ∆ А1СМ, из чего следует S ∆A1CP= 0,5 S ∆ A1CM, а сумма площадей двух равных треугольников по бокам от прямоугольника DF1A1C равна полной площади ∆ А1СМ.
2S ∆А1СP=А1С•CM:2=14•5=70:2=35
S A1F1DC=A1C•CD= 14•5=70
Sсечения =35+70=105 (ед. площади)
--------------------------------
Как вариант можно применить теорему о площади ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость. Площадь проекции равна произведению площади самого сечения на косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью его проекции, откуда S сечения равно S(ABCDEF):cosA1CA
