Question

Докажите что значение выражения 2¹²+ 5³ делится нацело на 21

Answer 1

$(2^{12}+5^3)\div21\\ 2^{12}=1024\cdot4=4096;\\ 5^3=125;\\ 4096+125=4221=21\cdot201$
видно, что оно справедливо, теперь докажем это
$2^{12}+5^3=\left(2^4\right)^3+5^3=16^3+5^3=\\ \left|\begin{array}{c}a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3\end{array}\right|\\ =(16+5)(16^2-16\cdot5+5^2)=21\cdot(256-80+25)=21\cdot201$
поскольку один из множителей делится на 21, то тогда и само всё выражение делится на него
 Доказано, то-есть $2^{12}+ 5^{3}$ делится на 21 нацело!