Question

В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке О. AO=6√3, а угол BAC=120°. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Answer 1

Дано: АА1, СС1-биссектриссы, АО = $6 \sqrt{3}$, ∠ВАС = 120°.
Найти: r = ?
Решение: 
1) Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с точкой пересечения его биссектрис.
О - центр окружности.
2) Из ΔАОС опустим высоту, которая является r окружности.
3) Рассмотрим ΔОНА. Он прямоугольный, потому что ∠Н = 90°
sin∠А=ОН/ОА=$\frac{ \sqrt{3}}{2}$.
Пусть х - OH, тогда
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{6\sqrt{3}} ;$
2х=$\sqrt{3} * 6\sqrt{3}$=18
х=ОН=r=9.
Ответ: r = 9