Question

Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной √30 и углом ВАD, равным arccos 3/4. Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол 60 градусов. Найдите радиус сферы, проходящей через точки А, В, С и середину ребра SB. В ответ запишите R².

Answer 1

Ну, баллов много, но задача эта совсем не сложная.
Логически она решается "на раз". Все, что надо сообразить - что середина SB - пусть это точка E - проектируется на основание прямо в центр ромба H (точку пересечения диагоналей AC и BD). Это означает, что плоскость ABC и плоскость AEC - перпендикулярны. 
Сечения сферы этими перпендикулярными плоскостями - это просто окружности, описанные вокруг треугольников ABC (в плоскости ABC) и AEC (в плоскости AEC). 
То есть на сфере есть две окружности с общей хордой AC (радиусы окружностей очевидно вычисляются из условия), расположенные в перпендикулярных плоскостях. 
Через середину AC перпендикулярно AC проходит плоскость, очевидно содержащая центр сферы - эта плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от A и C, и в ней центр лежит на таком же расстоянии от B и E (которые тоже лежат в этой плоскости, разумеется). Тут главное - не выдумать случайно, что центр О лежит в плоскости ABC - это не так.
А это означает, что центральное сечение является окружностью, описанной вокруг треугольника BEB1, где BB1 - диаметр окружности, описанной вокруг ABC. Точка B1 лежит на продолжении BD. 
Получается, что для решения задачи надо 1) найти диаметр окружности, описанной вокруг ABC, BB1 = d; 2) найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника BEB1.
Это и будет искомый радиус сферы. Теперь можно считать.
Пусть a = √30; α = arccos(3/4);
Для треугольника ABC x = BH = a*sin(α/2);
BB1 = d = a/sin(α/2); это просто теорема синусов для ABC; 
точно так же для треугольника BEB1
EH = BH*tg(60°) = x*√3;
2*R*sin(60°) = EB1; или, если возвести в квадрат,
4*R^2*(3/4) = EB1^2 = EH^2 + HB1^2 = (d - x)^2 + (x*√3)^2; или
3*R^2 = (d - x)^2 + 3*x^2; при этом d = a/sin(α/2); x = a*sin(α/2); осталось подставить.
3*R^2 = a^2*((1/sin(α/2) - sin(α/2))^2 + 3*(sin(α/2))^2) = 
= a^2*((1/2+cos(α)/2)^2/((1/2-cos(α)/2)) + 3*(1/2-cos(α)/2)); =
(подставляем числа)  
= 30*((7/8)^2/(1/8) + (3/8)) = 30*(49 + 3)/8 = 3*10*52/8;
R^2 = 520/8 = 65;