Строго говоря, теорема Птолемея дает необходимое и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. Но если честно, я ни разу не встречал задачу, в которой пришлось бы использовать достаточность. То есть всегда бывает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается соответствующий вывод. Предлагаю в таком виде теорему и формулировать.
Теорема Птолемея. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон
AC·BD=AB·CD+AD·BC<span>.
Меня всегда удивлял тот факт, что в этой теореме приходится перемножать противоположные стороны. Как-то далеко друг от друга они расположены. Вот если бы соседние перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. Это и дало толчок к моему доказательству.
Найдем площадь ABCD двумя способами.
Во-первых, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними - эта формула, как мне кажется, школьникам должна быть известна.
Доказывается она либо разбиением четырехугольника диагоналями на 4 треугольника, либо более красиво - рассматривая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины,
Если обозначить угол между диагоналями буквой </span>Ф, то
S=(1/2)AC·BD·sin Ф
Угол Ф - это угол между хордами AC и BD, а он, как известно из школьной программы, равен полусумме дуг AB и CD, высекаемых этими хордами. Через вписанные углы он выражается в виде суммы углов BCA и CBD. Запомним это.
Во-вторых, более или менее естественно попробовать сосчитать площадь ABCD как сумму площадей двух треугольников, скажем ABC и ADC, но в этом случае мы будем получать произведения соседних сторон, а не противоположных. Выйдем из положения не совсем обычным способом. Отрежем от четырехугольника треугольник ABC (останется нетронутым треугольник ADC) , перевернем ABC другой стороной и "приклеим" на старое место. Если Вы не любите "играть в бирюльки" и хотите "математическое рассуждение", то вот оно. Рассмотрите диаметр окружности, перпендикулярный AC, и рассмотрите точку B', симметричную точке B относительно этого диаметра. Конечно, она снова лежит на окружности, при этом AB=CB'; BC=B'A. Иными словами, мы получили четырехугольник AB'CD, площадь которого равна площади старого, с теми же сторонами, но теперь те стороны, которые были противоположными, стали соседними. Разобьем четырехугольник AB'CD на два треугольника так, чтобы их сторонами были бывшие противоположные. Тогда
Во вписанном четырехугольнике, как известно, сумма противоположных углов равна 180°, значит синусы этих углов равны, поэтому
S_(ABCD)=(1/2)(AB'·AD+B'C·CD)sin DAB'= (1/2)(BC·AD+AB·CD)sin (DAC+CAB')= <span>(1/2)(BC·AD+AB·CD)sin (DBC+BCA)= (1/2)(BC</span>·AD+AB·CD)sin Ф<span> </span> (углы DAC и DBC опираются на одну дугу и поэтому равны, углы CAB' и BCA опираются на равные хорды B'C и AB и поэтому равны).
Сравнив две полученные формулы для площади ABCD, получаем искомую формулу.
Пример на использование теоремы Птолемея.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, AB=1, AC=2, AD=6/5, ∠ADC=90°. Найти BD.
Решение. ∠ADC=90°⇒∠ABC=90°, то есть ABCD разбит диагональю AC на два прямоугольных треугольника. С помощью теоремы Пифагора находим неизвестные катеты этих треугольников: BC=√3; CD=8/5. По теореме Птолемея BD·AC=AB·CD+BC·AD; 2BD=8/5+6√3/5; BD=(4+3√3)/5
Заканчивая сей опус, хочу извиниться за то, что не способен сейчас сделать чертеж - очень много дел запланировано на этот вечер. Если кто-нибудь сделает мне его - отдам все заработанные на этой задаче баллы.)))
#416. Нехай кут при вершині = х, тоді кути при основі = х + 15. Складемо рівняння: х + х + 15 + х + 15 = 180 3х = 150 х = 50 Кут при вершині = х = 50 Кути при основі = х + 15 = 65 #417. Нехай кути при основі = х, тоді кут при вершині = х + 24 Складемо рівняння: х + х + х + 24 = 180 3х = 156 х = 52 Кути при основі = х = 52 Кут при вершині = х + 24 = 76
Отложим на стороне AB<span> отрезок </span>BD<span>, равный </span>BC<span>. Тогда треугольник </span>BCD<span> – равнобедренный с углом при вершине 20°, поэтому углы при основании равны 80° (см. рис.). Пусть </span>CE<span> – биссектриса угла </span>C. Тогда ∠BCE<span> = 60°, поэтому ∠</span>AEC<span> = 20° + 60° = 80°. Таким образом, в треугольнике </span>DEC<span> равны два угла, поэтому он равнобедренный. Угол при его вершине </span>C<span> равен 20°, поэтому ∠</span>ACD<span> = 40°. Значит, треугольник </span>ACD<span> также равнобедренный, следовательно, </span> CE = CD = AD = AB – BC<span> = 4. Ответ: 4</span>