Question

Сколько рациональных членов содержит разложение (√3+√7)^100 по формуле бинома Ньютона?

Answer 1

Рациональные слагаемые в разложении - это те, в которые √3 и √7 входят в четных степенях (причем, т.к. сумма их степеней = 100, если √3 входит в четной степени в слагаемое, то и √7 входит в четной степени). Всего таких слагаемых 51 (по степеням: 0, 2, 4, 8, ... , 98, 100)

$(\sqrt{3} + \sqrt{7})^{100} = \sum_{i = 0}^{100} C^i_{100} (\sqrt{3} )^i(\sqrt{7} )^{100-i} =$
$= \sum_{i = 0}^{50} C^{2i}_{100} (\sqrt{3} )^{2i}(\sqrt{7} )^{100-2i} + \sum_{i = 1}^{50} C^{2i-1}_{100} (\sqrt{3} )^{2i-1}(\sqrt{7} )^{101-2i} =$
$= \sum_{i = 0}^{50} C^{2i}_{100} 3^{i}7^{50-i} + \sqrt{\frac{7}{3}} \sum_{i = 1}^{50} C^{2i-1}_{100} 3^{i}7^{50-i}$