Немного неоднозначная задача, нужно найти кинетическую и потенциальную энергию, хотя не сказано с какого именно положения нужно вести отсчет времени. Я выберу это положение сам.
И еще вопрос, что понимается под амплитудой колебаний? Пусть это будет максимальной высотой подъема тела (#)
По закону сохранения энергии
(*)
где
h - амплитуда, т.е. максимальная высота подъема качели
x(t) - высота качели как ф-я времени
x'(t) - соотв. скорость качели как ф-я времени
(таким образом в правой части имеем потенциальную и кинетическую энергии)
Поставим начальное условие x(0)=0, т.е. пусть в начальный момент времени человек находился в самой нижней точке с макс. кинетической энергией.
Решим ОДУ (*) методом разделения переменных, получим в качестве решения ф-ии
![x(t)=-\frac{49}{10} t^2\pm \frac{7\sqrt{10} }{5} t](https://tex.z-dn.net/?f=x%28t%29%3D-%5Cfrac%7B49%7D%7B10%7D+t%5E2%5Cpm+%5Cfrac%7B7%5Csqrt%7B10%7D+%7D%7B5%7D+t)
из этих ф-ий выберем ту что с плюсом, т.к. именно ее производная при
обращается в нуль, что соответствует моменту остановки качели по достижении макс высоты. Найдем когда именно скорость равна нулю:
![x'(t)=-\frac {49\,t}{5}}+\frac{7\sqrt{10} }{5} =0](https://tex.z-dn.net/?f=x%27%28t%29%3D-%5Cfrac+%7B49%5C%2Ct%7D%7B5%7D%7D%2B%5Cfrac%7B7%5Csqrt%7B10%7D+%7D%7B5%7D+%3D0)
отсюда
![t=\frac{\sqrt{10} }{7}](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B10%7D+%7D%7B7%7D)
Стоит отметить, что это решение описывает движение качели лишь на интервале времени от 0 до половины периода. Но этого нам достаточно, ибо требуется найти энергии при t = 1/12 T (где T-период)
Таким образом значение
нам теперь известно. Тогда ![1/12*T=1/3*(1/4*T)=\frac{\sqrt{10} }{21}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2F12%2AT%3D1%2F3%2A%281%2F4%2AT%29%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B10%7D+%7D%7B21%7D)
Значит качели в момент времени
были на высоте ![x(\frac{\sqrt{10} }{21})=\frac{5}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=x%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B10%7D+%7D%7B21%7D%29%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B9%7D)
Отсюда потенциальная энергия
(Дж)
И кинетическая энергия
(Дж)
(#) Задачу можно рассматривать и как задачу гармонического осциллятора, т.е. с потенциальной энергией вида
заместо типичной
В этом случае данная в условии задачи частота будет использоваться (чтоб найти омега) В то же время решение ОДУ будет посложнее, функция сведется к тангенсу или чему-то подобному.
Как именно интерпретировать задачу зависит от интерпретации слова амплитуда. Я выбрал самый простой случай и что-то решил, вполне возможно совсем не то, что хотели бы видеть авторы задачи.