Если по-русски, на современном русском, то «на Доне».
Однако! На местном диалекте принято говорить «на Дону». Более того, произношение «на Доне», если и не оскорбительно для носителей «возрождающейся самостийной казачьей культуры», то накладывает ярлык «чужака» на любого, кто говорит «на Доне»(сравните: в/на Украине).
Местные диалектные самоназвания и топонимические названия и склонения топонимики всегда предпочтительнее в общении с местным населением.
Например, современники называют Мурма́нск(по реке Мурма́н, а не Му́рман) Му́рманском. И такое произношение стало нормой для мурма́нцев, кои за сорок-пятьдесят лет стали мурманчанами.
Произношение «на Дону» будет предпочтительнее, пока, хотя бы номинально, существует казачество и его самостийные потуги и амбиции.