Правильно: забота, об этом можно узнать из любого орфографического словаря.
А вот этимологичекий словарь расскажет нам более интересные истории. В славянских языках существовало слово zobъ со значением "зерновой корм для птицы", в др.-рус. языке уже отмечается глагол зобити - есть, а в северных говорах даже известен глагол зобАть - есть с жадностью.
Но при чем тут забота о ближних или о самом себе?
"Забота" в русском языке появляется довольно поздно - только в 18 веке и сначала в форме "зобота", но "ЗО" очень быстро превращается в "ЗА" под влиянием "аканья", а также в связи со схожестью с приставкой ЗА.
С едой же забота имеет непосредственную связь, но вот что интересно: теперь не мы едим нечто, а это нечто, то есть печаль, беспокойство, съедает нас. Вот и Даль отмечает поговорку: "Забота не съела, так скука одолела".