Данное уравнение является квадратным.
1) Рассмотрим случай, когда свободный член равен нулю.
![p^2-1=0](https://tex.z-dn.net/?f=p%5E2-1%3D0)
![p=\pm 1](https://tex.z-dn.net/?f=p%3D%5Cpm+1)
При р=-1
![x^2-3x=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-3x%3D0)
не имеет отрицательных корней.
При р=1
![x^2+x=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2Bx%3D0)
имеет один отрицательный корень (х=-1)
2) Рассмотрим случай, когда второй коэффициент при х равен нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. при
![p= \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=p%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+)
:
![x^2+( \frac{1}{2} )^2-1=0\\ x^2= \frac{3}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%29%5E2-1%3D0%5C%5C+x%5E2%3D+%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+)
Это уравнение имеет корни разных знаков.
3) Рассмотрим случай, когда уравнение является полным.
Условие существования по крайней мере одного корня - это
![D \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=D+%5Cgeq+0)
![D=(2p-1)^2-4(p^2-1)=4p^2-4p+1-4p^2+4=5-4p](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%282p-1%29%5E2-4%28p%5E2-1%29%3D4p%5E2-4p%2B1-4p%5E2%2B4%3D5-4p)
а) Если у уравнения возможен единственный отрицательный корень, то
![p= \frac{5}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=p%3D+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+)
, тогда
![x=- \frac{3}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-+%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+)
- отрицательный.
Если существует два корня, то
![x_{1,2}=\dfrac{(1-2p) \pm \sqrt{5-4p}}{2},\ p < \frac{5}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%2C2%7D%3D%5Cdfrac%7B%281-2p%29+%5Cpm+%5Csqrt%7B5-4p%7D%7D%7B2%7D%2C%5C+p+%3C+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+)
В таком случае оба корня могут оказаться отрицательными, но потребуем, чтобы отрицательным оказался меньший из этих корней:
![\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \dfrac{(1-2p)- \sqrt{5-4p}}{2}<0 \end{cases} <=> \begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \sqrt{5-4p}>1-2p \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D+p+%3C+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+%5C%5C+%5Cdfrac%7B%281-2p%29-+%5Csqrt%7B5-4p%7D%7D%7B2%7D%3C0+%5Cend%7Bcases%7D+%3C%3D%3E+%5Cbegin%7Bcases%7D+p+%3C+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+%5C%5C+%5Csqrt%7B5-4p%7D%3E1-2p+%5Cend%7Bcases%7D+)
Последняя система неравенств равносильна совокупности условий:
![\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ p \leq \frac{1}{2} \\ 5-4p>1-4p+4p^2 \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D+p+%3C+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+%5C%5C+p+%5Cleq++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5C%5C+5-4p%3E1-4p%2B4p%5E2+%5Cend%7Bcases%7D+)
или
![\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ p > \frac{1}{2} \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D+p+%3C+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+%5C%5C+p+%3E++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cend%7Bcases%7D+)
![\begin{cases} p \leq \frac{1}{2} \\ 4p^2<4 \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D+p+%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5C%5C+4p%5E2%3C4+%5Cend%7Bcases%7D)
или
![\frac{1}{2}<p<\frac{5}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3Cp%3C%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D)
![\begin{cases} p \leq \frac{1}{2} \\ -1<p<1 \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D+p+%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5C%5C+-1%3Cp%3C1%C2%A0%5Cend%7Bcases%7D)
![p \in (-1;\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{5}{4})](https://tex.z-dn.net/?f=p+%5Cin+%28-1%3B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29+%5Ccup+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%29)
Итак,
![p \in (-1; \frac{5}{4})](https://tex.z-dn.net/?f=p+%5Cin+%28-1%3B+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%29)